Portföy Optimizasyonu

Abstract

Bu çalışma portföy optimizasyonunda kullanılan matematiksel modeller hakkındadır. Yatırım, getiri ve risk olmak üzere iki boyuta indirgenmiştir. Yatırım problemi beklenen getiri ve risk ölçüsü olarak varyans veya standart sapma kullanılarak modellenmiştir. Analiz sırasında yatırımcının tercihleri göz önünde bulundurularak en yüksek faydayı sağlayacak optimal portföy belirlenmeye çalışılır. Analizin girdileri, beklenen getiri, standart sapma ve menkul kıymetler arasındaki ilişkiyi tanımlayan kovaryanstır. Yapılan ortalama-varyans analizi etkin çeşitlendirmenin nasıl yapılacağını da ortaya koymaktadır. Problemi çözmek için grafiksel yöntem, Lagrange çarpanları ve Markowitz’in geliştirdiği kritik hat algoritması kullanılmaktadır. Analiz sonunda belli bir beklenen getiri düzeyi için standart sapma veya varyansla ölçülen riski minimize eden, belli bir risk düzeyi için beklenen getiriyi maksimize eden uygulanabilir portföyler tanımlanır. Bu portföyler beklenen getiri-standart sapma uzayında etkin sınırı oluştururlar. Kritik hat algoritması sayesinde etkin sınır sonlu sayıdaki köşe portföyden üretilebilmektedir. Çalışmada ayrıca basitleştirilmiş modeller olarak bilinen ve yatırım probleminin ilişkisel yapısını basitleştiren indeks modelleri ile portföy seçimi aşamasında fayda fonksiyonu kullanmamak için geliştirilmiş diğer portföy seçim modellerine de yer verilmiştir.

This study is about the mathematical models using in portfolio optimisation. Investment is reduced into two dimensions as return and risk. Mathematical model of investment problem is defined by using rate of return and variance or standard deviation as risk measure. In the analysis it is tried to find the optimal portfolio that gives the maximum utility by using investors’ preferences. The inputs of the analysis are rate of returns, standard deviations and covariance that defines common movement of securities. This mean-variance analysis defines how efficient diversification can be done. To solve the problem graphical method, Lagrange multipliers and critical line algorithm that is developed by Markowitz are used. At the end of the analysis identified all feasible portfolios that minimize risk as measured by variance or standard deviation for a given level of expected return and maximize expected return for a given level of risk. When graphed in standard deviation versus expected return space, these portfolios form the efficient frontier. By the critical line algorithm efficient frontier can be produced from finite corner portfolios. In this study the models known as simplified models that are developed to simplify the correlational structure of the investment problem and the other models developed not to use utility function in the portfolio selection step are introduced, too.This study is about the mathematical models using in portfolio optimisation. Investment is reduced into two dimensions as return and risk. Mathematical model of investment problem is defined by using rate of return and variance or standard deviation as risk measure. In the analysis it is tried to find the optimal portfolio that gives the maximum utility by using investors’ preferences. The inputs of the analysis are rate of returns, standard deviations and covariance that defines common movement of securities. This mean-variance analysis defines how efficient diversification can be done. To solve the problem graphical method, Lagrange multipliers and critical line algorithm that is developed by Markowitz are used. At the end of the analysis identified all feasible portfolios that minimize risk as measured by variance or standard deviation for a given level of expected return and maximize expected return for a given level of risk. When graphed in standard deviation versus expected return space, these portfolios form the efficient frontier. By the critical line algorithm efficient frontier can be produced from finite corner portfolios. In this study the models known as simplified models that are developed to simplify the correlational structure of the investment problem and the other models developed not to use utility function in the portfolio selection step are introduced, too.