Mixed finite element formulations for laminated beams and plates based on higher order shear deformation theories

Abstract

The engineering design process requires a thorough understanding of the behavior of structural applications under applied loads. In engineering applications, finite element formulations have been proven to be one of the most efficient analyses tools. This content is essential because it has always been a priority for ngineers/researchers to provide answers that are as close to the actual problems as possible. Composite structures are now widely used in a variety of engineering sectors, including construction, biomechanics, automobile, industrial, aircraft, defense, and nuclear. Several types of composite materials, which are based on the cooperation of several materials, offer some benefits such as sound, heat, and water insulation, fire safety, high strength, corrosion resistance, lightness, and low cost in the structures in which they are employed. Load carrying capacity, failure load and damage detection are critical in the structural design of composite materials. In this context, the need for detailed static analysis is inevitable. Since the financial situation or the physical environment is not always suitable for experimental work, it will be an efficient way to determine the formulation closest to the real behavior according to the problem type and to work theoretically. In this thesis, applying linear static analysis, a mixed finite element formulation is proposed to evaluate the stress and displacement components of thin to relatively thick laminated composite beams and plates. The formulations rely on the HigherOrder Shear Deformation Theories, which eliminates the necessity for the shear correction factor required by the First-Order Shear Deformation Theory. Instead of imposing a constant transverse shear deformation through the thickness of the laminate several studies have proposed trigonometric, exponential, and polynomial type shear functions that meet the nonuniform shear stress distribution in the crosssection. In this study, four different shear functions were utilized and their predictive capabilities are compared in plate analysis through numerical examples. Whereas, for the stress analysis of laminated composite beams, the famous third order shear function was adopted to all solved problems. To be more specific; while the shear functions of Reissner, Reddy, Touratier and Nguyen-Xuan et al. were applied for plate analysis, Reddy's shear function was applied for beam analysis. In the formulation part of this thesis, the Hellinger-Reissner variational principle was used and the first variation of the functional based on this principle was obtained separately for the laminated beam and plate elements. In this way, finite element equations possessing two independent field variables of displacement and stress resultant type were obtained. In the finite element discretization, two-noded, onedimensional straight elements were employed for beams and four-noded, twodimensional quadrilateral elements were employed for plates. Field variables are interpolated with linear shape functions as the proposed mixed finite element formulation requires C0 continuity. The beam kinematical variables consist of a deflection, axial displacement, and a shear rotation, while the plate displacement field consists of a deflection, two in-plane displacements and two shear rotations. The displacements and stress components are derived precisely at the nodes as an advantage of mixed finite element equations. Axial stress and in-plane shear components of both beam and plate structures are calculated directly at the nodes in terms of the stress resultants and sectional compliance matrix by employing Hooke's law. The continuous transverse shear stresses of the laminated composite beam are calculated with the help of the equilibrium equations of elasticity. On the other hand, the equivalent section principle is employed for the determination of the transverse shear stress components of the laminated plate. In order to reflect the extendibility of the proposed mixed finite element formulation for other types of analyses a viscoelastic formulation is also presented for isotropic plates based on higher order shear deformation theory. By employing the correspondence principle the material constants of the plate is replaced by their complex counterparts and static analyses are conducted in Laplace space. In order to call back the parameters of the quasi-static analyses to the time space the modified Durbin's algorithm is implemented. The quasi-static analysis of simply supported and clamped viscoelastic plate is conducted by adopting standard model. Comparison and convergence assessments for several lamination schemes were performed under various boundary conditions in order to reflect the performance of the proposed solution procedure.

Mühendislik tasarım süreci, yapısal sistemlerin uygulanan servis yükleri altındaki davranışının tam olarak anlaşılmasını gerektirir. Mühendislik uygulamalarının analiz aşamasında kullanılan sonlu eleman formülasyonlarının en verimli çözüm araçlarından biri olduğu genel olarak düşünülmektedir. Bu bağlam önemlidir, çünkü gerçek hayattaki problemlere mümkün olduğunca gerçekçi cevaplar bulmak mühendisler/araştırmacılar için her zaman bir öncelik olmuştur. Kompozit malzemeler günümüzde inşaat, biyomekanik, otomobil, endüstri, savunma sanayi, nükleer, uçak ve uzay gibi çeşitli mühendislik alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Kompozit malzemeler birbirinden farklı özellikte en az iki malzemenin bir araya gelip uygun entegrasyon ile birlikte çalışma prensibine dayanır. Kompozit malzemelerin temel avatantajı oluşturulan kompozit yapının gerçekleştirilen tasarım ile güçlü yönlerinin ortaya çıkarılıp zayıf yönlerine karşı dayanım oluşturulabilmesidir. Bu maksatla elde edilen kompozit malzemeler kullanıldıkları yapılarda ses, ısı ve su yalıtımı, korozyana karşı dayanım, genel olarak yüksek dayanım, yangına karşı dayanıklılık, azaltılmış ağırlık ve düşük maliyet gibi pek çok kazanımlar sağlamaktadır. Yapısal bir sistemde kullanılacak olan kompozit malzemenin taşıyabileceği maksimum yük, malzemenin kopma veya sıyrılma gibi hasar durumları ile kompozit yapıda oluşabilecek herhangi bir olumsuz durumun tespit edilmesi önem arz etmektedir. Bu durumlarla ilgili gerekli tespitlerin yapılabilmesi için tasarımda kullanılacak kompozit malzemeden oluşturulmuş yapının statik davranışını detaylıca uygun yöntemlerle incelemek gerekmektedir. Deneysel olarak analiz yapmak önemlidir ancak kısıtlı fiziksel koşullar ve abartılı bütçe gereksinimleri gibi sebepler deneysel çalışmaları bir tercih olmaktan çıkarabilmektedir. Bu açıdan bakıldığında gerçek fiziksel probleme en yakın modeli belirleyip sonrasında uygun teorik çalışmalar ile analiz gerçekleştirmek daha sağlıklı ve tercih edilir bir çözüm olacaktır. Mühendislik problemlerinde kullanılan yapısal taşıyıcı sistemleri modellemek adına kullanılan elemanlar kiriş (çubuk), plak ve kabuk olmak üzere üç ana başlıkta incelenebilir. Kiriş, bir boyutu diğer iki boyutu yanında nispeten daha büyük olduğu kabul edilen tek boyutlu yapısal elemanlardır. Plaklar, iki boyutu üçüncü boyutu yanında nispeten daha büyük olan düzlem taşıyıcı elemanlardan oluşur. Kabukta ise yine iki boyut üçüncü boyutun yanında nispeten daha büyüktür ancak bu sefer seçilen eleman eğrisel yapıdadır. Bu elemanlar yardımıyla yapılan modellemelerde gerçek taşıyıcı sistemler statik, quazi-statik veya dinamik açıdan analiz edilebilmektedir. Bu amaçla geçmişten günümüze kadar pek çok kiriş ve plak teorisi geliştirilmiştir. Bu teoriler basitten karmaşığa doğru Klasik Kiriş/Plak Teorisi (KKT), Birinci Mertebe Kayma Deformasyon Teorisi (BMKT), Yüksek Mertebe Kayma Deformasyon (YMKT) Teorisi ve Zik-zak Teori (ZZ) olarak sınıflandırılabilir. Bu teoriler ince ve kalın yapıların analiz edilmesinde farklı sonuçlar üretebilmektedir. Bu tez çalışmasında tabakalı kompozit yapıdaki kiriş ve plak elemanların statik analizleri için hesaplama yükü açısından verimli ve gerçekçi sonuçlar sunabilen bir sayısal çözüm yöntemi ortaya konulmaktadır. Yapılan çalışma kapsamında ince ve nispeten kalın yapıya sahip tabakalı kompozit kirişlerin yer değiştirme ve gerilme bileşenlerini statik yükleme altında hesaplayan bir karışık sonlu elemanlar formülasyonu öne sürülmüştür. Tabakalı kompozit kiriş ve plak mekanik modellerinde Yüksek Mertebe Kayma Teorisi dikkate alınmış ve bu sayede Birinci Mertebe Kayma Deformasyon Teorisinde (BMKT) ihtiyaç duyulan kayma düzeltme katsayısına duyulan gereksinim ortadan kaldırılmıştır. Tabakalı kompozit yapıların mekanik davranışlarının modellenmesinde çok önemli bir konu olan kesit çarpılmasını (enine kayma gerilmesi kaynaklı) yansıtmak üzere bir çok kayma deformasyon teorisi trigonometrik, eksponansiyel ve polinom türlerinde kayma fonksiyonları üzerinden farklı araştırmacılar tarafından ortaya atılmıştır. Bu sayede, BMKT de ortaya çıkan kesitte sabit kayma açısı dağılımı ve laminat alt ve üst yüzeyinde sıfır çıkmayan kayma gerilmesi sorunları ortadan kaldırılabilmiştir. Bu çalışmada gerçekleştirilen tabakalı kompozit plak analizleri ve sayısal örnekleri için birbirinden farklı dört araştırmacının kayma şekil değiştirme fonksiyonları kullanılmış ve birbirleri ile (ve literatürdeki diğer tabakalanma teorileri ve çözüm yöntemleri ile) karşılaştırılmıştır. Tabakalı kompozit kiriş durumu için ise plak analizinde başvurulan araştırmacılardan yalnızca birinin türettiği kayma fonksiyonu tüm problemlerde uygulanmıştır. Daha açık olarak belirtmek gerekirse; Reissner, Reddy, Touratier ve Nguyen-Xuan et al. isimli araştırmacıların kayma şekil değiştirme fonksiyonları plak analizleri için kullanılırken, yalnızca Reddy'nin kayma fonksiyonu kiriş analizleri için kullanılmıştır. Bu tez kapsamında sayısal çözüm formülasyonun kurgulanmasında HellingerReissner prensibinden yararlanılmış ve bu prensibin sunduğu fonksiyonelin birinci varyasyonu kiriş ve plak denklemleri için ayrı ayrı elde edilmiştir. Bu şekilde yer değiştirme ve gerilme bileşkesi türündeki iki farklı bölge değişkenlerini bir arada barındıran karışık sonlu eleman denklemleri elde edilmiştir. Sonlu eleman ayrıklaştırılması yapılırken ise kirişler için iki düğüm noktalı, tek boyutlu düz (geometrik olarak doğrusal) elemanlar kullanılmış ve plaklar için ise dört düğüm noktalı, iki boyutlu ve genel dörtgen elemanlar kullanılmıştır. Elde edilen fonksiyonel başlangıçta C1 sürekliliğine sahip iken karışık sonlu eleman formülasyonunun bir avantajı olarak matematiksel bir operasyon ile türev kaydırma işlemi uygulanmış ve nihayetinde C0 sürekliliğini gerektiren yapının oluşturulması sağlanmıştır. Tabakalı kompozit kiriş yerdeğiştirme alanı bir çökme, bir eksenel yer değiştirme ve bir kayma dönmesi ifadesinden oluşurken plak yerdeğiştirme alanı ise bir çökme, iki düzlem içi yer değiştirme ve iki kayma dönmesi ifadesinden meydana gelmektedir. Klasik sonlu elemanlar formulasyonu düğüm noktalarında yerdeğiştirme türünde bilinmeyenler atarken, bu çalışma kapsamında tercih edilen hali ile karışık sonlu elemanlar formülasyonunun yerdeğiştirme ve gerilme bileşkesi türündeki bilinmeyenleri bir arada asıl bölge değişkenleri olarak bulundurması önemli bazı avantajlar ortaya çıkarmaktadır. Her şeyden önce plak-çubuk gibi taşıyıcı sistemlerin analizlerinde kesit zorlanmaları hakkında önemli fikirler veren normal kuvvet, kesme kuvveti, eğilme ve burulma momentleri gibi büyüklükler doğrudan global sonlu eleman denklemlerinin çözümünden elde edilmektedir. Bu sayede düğüm noktalarında sürekli bir biçimde elde edilen bu büyüklükler doğrudan görselleştirilerek yapısal sistemdeki ekstrem zorlanmalar hakkında fikir sahibi olunabilmektedir. Ayrıca, şekil değiştirme ölçütleri ile gerilme bileşkeleri arasında doğrudan kesit kompliyans matrisi üzerinden bir ilişki bulunmaktadır. Böylece, düğüm noktalarında doğrudan hesaplanan gerilme bileşkeleri üzerinden şekil değiştirme ölçütleri sadece matris işlemleri ile elde edilebilmektedir. Bu durum klasik sonlu eleman formülasyonunda bu aşama için gerekli olan hataya meyil veren sayısal türev kullanma gereksinimini ortadan kaldırmaktadır. Sonrasında plak-kiriş kinematik ilişkileri üzerinden bu kez her tabakada şekil değiştirme bileşenleri aritmetik işlemler ile belirlenebilmektedir. Nihayetinde Hooke yasası kullanılarak, bir düğüm noktasında kesit boyunca normal gerilme ve düzlem içi kayma gerilme bileşenleri elde edilebilmektedir. Enine kayma gerilme bileşenlerinin tabakalı kompozit yapılarda hesaplanması güçlük çıkaran bir konu olarak ortaya çıkmaktadır. Eğer doğrudan Hooke yasası ve ilgili kiriş-plak teorisinin kinematik ilişkileri kullanılırsa örneğin BMKT'de kesit boyunda sabit enine kayma açısı kabulü gereği çeşitli uygunsuzluklar olacaktır. Örneğin kesit alt ve üst yüzeylerinde sıfır olması gereken enine kayma gerilmesi sıfırdan farklı değerler alacaktır. Malzeme arayüzlerinde sabit kayma açısı ve farklı malzeme durumundan ötürü süreksiz bir enine kayma gerilmesi dağılımı gözlenecektir. Ayrıca her bir tabaka içerisinde enine kayma gerilmesi sabit bir değer olarak elde edilecektir. YMKT'de ise kesit alt ve üst yüzeylerinde sıfır enine kayma gerilmesi koşulu sağlanırken, yine kayma fonksiyonunun türevinin kesit boyunca sürekli olması sebebi ile enine kayma şekil değiştirmesi dağılımı kesit boyunca sürekli olacaktır. Bu durum ise yine tabaka ara kesitlerinde farklı malzemeler üzerinden hesaplanacak enine kayma gerilmesi bileşenlerinin süreksiz olmasına zemin hazırlayacak dolayısıyla gerçekçi olmayan bir davranış sergileyecektir. Bu çalışma kapsamında tabakalı kompozit kirişlerde enine kayma gerilmesi bileşenlerinin gerçekçi bir biçimde elde edilmesi için elastisite teorisinin denge denklemleri kullanılmıştır. Tabakalı kompozit plaklarda ise iki plak global doğrultusundaki enine kayma gerilmelerinin hesabında yine süreklilik sağlayan eşdeğer kesit yöntemi kullanılmıştır. Bu çalışma kapsamında ayrıca, sunulan karışık sonlu eleman formülasyonunun farklı tipteki analizlere genişletilebilme kapasitesini göstermek adına homojen plakların kuazi-statik analizleri için bir viskoelastisite formülasyonu sunulmuştur. Plak malzemesi karşıgelim ilkesi (correspondence principle) uyarınca kompleks eşdeğerleri ile değiştirilmiş ve statik çözüm her bir zaman adımı karşılığında Laplace uzayında gerçekleştirilmiştir. Laplace uzayında hesaplanan büyüklükler daha sonra modifiye edilmiş Durbin algoritması kullanılarak tekrar zaman uzayına taşınmıştır. Bu kapsamda sayısal örnek aşamasında basit ve ankastre mesnetli kare plaklar ele alınmış ve viskoelastik malzeme standart model varsayımı ile tanımlanmıştır. Sunulan çözüm yönteminin geçerlilik sınırlarını araştırmak adına üç boyutlu elastisite teorisi ile elde edilen kesin çözüm ve analitik çözümler ile karşılaştırmaların ve yakınsama analizlerinin yapıldığı bir çok sonuç ortaya konulmuştur. Yüksek mertebe kayma teorisi kapsamında üçüncü mertebe kayma deformasyon teorisi ve birbirinden farklı yapıdaki zik-zak Teorileri ile bir çok karşılaştırma örnekleri çözülmüştür. Aynı zamanda gerçekleştirilen çözümlerde eleman ağı sıklaştırması yapılarak kademeli olarak önerilen formülasyonun kıyaslanan veya doğrulanan çözüm yöntemlerinin sonuçlarına nasıl bir davranışla yakınsadığı gözlemlenmiştir.