Eğri eksenli çubukların analizi için kesin çözüm yöntemi ile sonlu eleman formülasyonu

Abstract

Eğri eksenli çubuklar, günümüzde makina, inşaat, uçak gibi mühendislik alanlarında ve endüstri kollarında yapısal eleman olarak kullanılmaktadır. Kullanım alanı bu kadar geniş olan bu yapıların statik ve dinamik problemleri birçok araştırmacı tarafından incelenmekte ve doğru çözüm yöntemleri elde edilmeye çalışılmaktadır. Bu çalışmada, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem iç ve düzlem dışı statik ve dinamik problemlerini çözmek üzere yeni bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Bu formülasyon, çember eksenli ve sabit kesitli çubukların statik problemlerinin kesin çözümünden yola çıkılarak elde edilmiştir. Elde edilen rijitlik matrisi, yer değiştirme ve dönme ifadelerinin kesin çözümü kullanılarak elde edildiği için, bu yöntemin geleneksel sonlu eleman yöntemlerine göre oldukça iyi sonuç verdiği görülmüştür. Sabit kesitli ve çember eksenli çubukların statik problemlerinde, problemdeki bölge sayısı kadar eleman kullanılması halinde dahi kesin çözümle aynı sonuçlar elde edilebilmektedir. Ayrıca bu rijitlik matrisi, değişken kesitli ve değişken eğrilikli çubukların statik problemlerini çözmek için kullanılabilir. Kesidi ve eğriliği sürekli değişen çubuklar, sabit kesitli ve eğrilikli sonlu elemanlara bölünerek çözüm yapılabilir. Eleman sayısının artması ile sonuçtaki yakınsama incelenerek gerekli minimum eleman sayısını belirlemek mümkündür. Bu sayede, eksenel uzama ve kayma deformasyonu etkileri ihmal edilmeksizin yaklaşık bir çözüm elde etmek mümkündür. Sonuçlar hem literatürdeki sonuçlarla hem de sonlu eleman paket programlarından elde edilen sonuçlarla karşılaştırılmıştır.

Many structures in different fields of engineering such as mechanical engineering, civil engineering, and aerospace engineering contain curved beam elements. Since they are essential for the design of such structures, static and dynamic analysis has been an important subject in mechanics. In this study, a finite element approximation for static and free vibration problems of circular arches with continuously varying curvature and cross-section is presented. The governing differential equations of static problems of arches are solved exactly by using the initial value method. The curvature and the cross-section of the arch are considered variables. Also, the cross-section of the beam is assumed to be doubly symmetric with respect to the axes describing the cross-section. With this assumption, it is possible to uncouple the in-plane and the- out-of-plane motion of a planar curved beam. The analytical expressions of the fundamental matrix are given for a circular arch with a uniform cross-section. Using this fundamental matrix, a finite circular beam element formulation is obtained. The stiffness matrix and the load vector are obtained using force-displacement relation. To obtain the mass matrix, the kinetic energy equation including the rotatory inertias is used. Several examples are solved in order to validate the present method.