Değişken debili testlerin analizi ve dekonvolüsyon

Abstract

Dekonvolüsyon yönteminde, kuyu dibinde ölçülen basınç ve akış debisi verileri kullanılarak rezervuar sisteminin sabit debili basmç davranışı hesaplanmaktadır. Dekonvolüsyon ters bir problem olduğundan dolayı, basınç ve akış debisi verileri üzerindeki ölçüm hatalarından etkilenmesi beklenmektedir. Bu çalışmada, basmç ve akış debisi verileri üzerindeki ölçüm hatalarının dekonvolüsyon üzerine etkisi ayrıntılı bir şekilde incelenmiştir. Literatürde sunulan dekonvolüsyon algoritmaları, Laplace uzaylı ve gerçek zaman uzaylı dekonvolüsyon algoritmaları şeklinde iki ana grup altında sınıflandırılabilir. Bu çalışmada, literatürde "debi" dekonvolüsyon ve "sentetik" dekonvolüsyon olarak isimlendirilen Laplace kökenli iki dekonvolüsyon algoritmasıyla birlikte Kuchuk ve Ayestaran tarafından sunulan gerçek zaman uzaylı dekonvolüsyon algoritması göz önünde bulundurulmuştur. Basınç ve akış debisi verileri üzerine, literatürde yaygın olarak kullanıldığından dolayı, belirli varyanslı ve sıfır ortalamah normal dağılım gösteren hatalar rasgele olarak eklenmiştir. Rezervuar modeli bilindiğinde kuyu dibinde ölçülen basmç verileri kullanılarak akış debisi hesaplanabilir ve ölçülen akış debisi verileri ile kıyaslanabilir. Bu tezde bu konuyla ilgili olarak çeşitli uygulamalar yapılmıştır. Değişken yüzey debili kuyu basmç testlerinde, kuyu dibinde bütün periyotlara ait basınç verileri kaydedildiğinde, değişken debi etkileri dekonvolüsyon sayesinde ortadan kaldırılabilir. Değişken yüzey debili yapay basmç testleri ile dekonvolüsyon uygulamaları yapılarak, değişken debi etkileri ortadan kaldırılmaya çalışılmıştır. Son olarak, yayınlanmış bir saha verisi için doğrusal olmayan regresyon analizi ile parametre tahmini yapılmıştır. İlk olarak, basınç verileri üzerine çeşitli oranlarda ölçüm hatası eklenerek debi dekonvolüsyonu uygulamaları yapılmıştır. Basmç verileri üzerinde % 0.1 oranında ölçüm hatası olması durumunda, dekonvolüsyon işleminden hesaplanan sabit debili basmç verilerinin türevi rezervuar modelinin tanınmasına olanaklı kılmasına rağmen basmç verileri üzerinde % 1 hata olması durumunda dekonvolüsyon işleminden hesaplanan türev verileri modelin tanınmasını mümkün kılmamaktadır. Hata içeren basınç verileri ile yapılan uygulamalarda olduğu gibi akış debisi verileri üzerine % 0. 1 hata eklenildiğinde, rezervuar modeli tanınabilmekle birlikte % 1 hata olması durumunda türev verileri rezervuar modeli tanınamayacak şekilde bir sacdım yapmaktadır. Sonuç olarak basmç ve akış debisi üzerindeki ölçüm hataları benzer etkileri göstermiştir. XV Basınç ve akış debisi verileri üzerine aynı anda hata eklenerek debi dekonvolüsyon uygulaması yapılmıştır. Aynı tohum değeri kullanılarak basınç ve akış debisi verileri üzerine aynı seviyede hata eklenildiğinde, dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri rezervuar modeline ait karakteristik davranışı mükemmel bir şekilde gerçeklemektedir. Tohum değeri değiştirilerek aynı seviyede hata eklendiğinde, dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri, erken zamanlarda saçılım göstermekte ancak son iki logaritmik devirde modele ait davranışı yakalayabilmektedir. Genellikle kuyu testleri literatüründe akış debisi verilerinin basmç verilerine göre daha fazla hata içerdiği kabul edilmektedir. Bundan dolayı akış debisi verileri üzerine % 1 oranında, basmç verileri üzerine % 0. 1 oranında hata eklemiş ve dekonvolüsyon uygulaması yapılmıştır. Dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri büyük bir saçılım yapmakta ve rezervuar modeli tanınamamaktadır. Laplace kökenli dekonvolüsyon algoritmaları kullanılırken, Laplace fonksiyonu şeklinde sunulan basmç ve akış debisi verilerini gerçek zaman uzayında ifade edebilmek için ters sayısal Laplace dönüşüm algoritmalarının kullanılması gerekir. Bu çalışmada etkinliği literatürde kanıtlanmış olduğundan Stehfest algoritması kullanılmıştır. Stehfest parametresi, Laplace fonksiyonu şeklinde sunulan bir değişkenin (basınç veya debi) gerçek zaman uzayına doğru şekilde dönüştürülmesinde oldukça etkilidir. Hata içeren basmç ve debi verileri ile yapılan dekonvolüsyon uygulamaları yapılırken farklı Stehfest parametreleri kullanılarak uygulamalar yapılmıştır. Homojen rezervuar modeline göre üretilen basınç ve akış debisi verileri üzerinde hata olması durumunda, Stehfest parametresi yaygın olarak kullanılan (N=8) değerinden küçük (N=2 veya 4) seçildiğinde dekonvolüsyondan daha düzgün sonuçlar hesaplanmıştır. Warren & Root'un çift gözenekli rezervuar modeline göre üretilen basmç ve akış debisi verileri üzerinde hata olması durumunda, Stehfest parametresini yaygın olarak kullanılan değerinden daha küçük seçildiğinde homojen rezervuar modeline göre yapılan uygulamalarda olduğu gibi düzgün sonuçlar elde edilememiştir. Genel olarak ölçüm hatalarından homojen rezervuar modeline göre üretilen basmç ve akış debisi verileri, çift gözenekli rezervuar modeline göre üretilen basmç ve akış debisi verilerine göre daha az etkilenmektedir. Kuyu içi depolanma dekonvolüsyon işleminden hesaplanan sabit debili basmç verileri ve sabit debili basmç verilerinin türevinin erken zamanlarda saçılım yaptığı hem yapay hem de yayınlanmış saha verileri ile yapılan dekonvolüsyon uygulamalarında görülmüştür. Kuyu içi depolanma dekonvolüsyonu, kuyu içi depolanma etkilerini hiçbir zaman tam olarak ortadan kaldıramamaktadır. Basmç verileri üzerine çeşitli oranlarda hata eklenerek yapılan kuyu içi depolanma (sentetik) dekonvolüsyonu uygulamaları, ölçüm hatalarından kuyu içi depolanma dekonvolüsyonun debi dekonvolüsyona göre daha fazla etkilendiğini göstermiştir. Kuyu içi depolanma dekonvolüsyonunda, kuyu içi depolanma katsayısının doğru değerinden daha küçük bir değer seçilerek basınç verileri üzerindeki kuyu içi depolanma etkilerinin bir bölümü ortadan kaldırılabilir. Kuyu içi depolanma etkilerinin bir bölümünün ortadan kaldırıldığına ilişkin çeşitli uygulamalar yapılmıştır. Basınç ve akış debisi verileri üzerindeki ölçüm hatalarının gerçek zaman uzaylı dekonvolüsyon algoritmasına etkisini incelemek amacıyla Kuchuk ve Ayestaran tarafindan sunulan algoritma kullanılmıştır. Basınç veya akış debisi verileri üzerine % 0. 1 oranında hata eklenerek yapılan dekonvolüsyon uygulamasından hesaplanan türev xvı verileri rezervuar modeli taranmayacak şekilde saçılım yapmaktadır. Basınç veya akış debisi verileri üzerindeki hata seviyesi arttırıldığında gerçek uzaylı dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri çok büyük bir saçılım yapmaktadır. Basmç ve akış debisi verileri üzerine aynı tohum değeri kullanılarak aynı seviyede ölçüm hatası eklendiğinde dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri rezervuar modelini tanınmasını olanaklı kılmaktadır. Akış debisi verileri üzerine basmç verilerine göre daha fazla hata yüklendiğinde dekonvolüsyon işleminden elde edilen türev verileri büyük bir saçılım göstermektedir. Genel olarak basınç ve akış debisi verileri üzerindeki ölçüm hatalarından gerçek zaman uzaylı dekonvolüsyon algoritması, Laplace uzaylı dekonvolüsyon algoritmalarına göre daha fazla etkilenmektedir. Basmç ve akış debisi üzerindeki ölçüm hatalarından en az debi dekonvolüsyonu, en fazla gerçek zaman uzaylı dekonvolüsyon algoritması etkilenmektedir. Çalışmada Laplace kökenli dekonvolüsyon için Stehfest dışındaki ters Laplace dönüşüm algoritmaları kullanılmamıştır. Dolayısıyla, Laplace uzaylı dekonvolüsyon işleminin her zaman gerçek uzaylı dekonvolüsyon işlemine göre hatalardan daha az etkilendiği genel bir sonuç değildir. Diğer bir ifadeyle, başka dönüşüm algoritmalarının ölçüm hatalarına duyarlılığı Stehfest algoritmasınınki gibi olmayabilir. Bu bir ayrı araştırma konusudur. Her ne kadar diğer dönüşüm algoritmaları bu çalışmada denenmemişse de, Laplace kökenli dekonvolüsyonun gerçek uzaylı dekonvolüsyona göre daha düzgün sonuçlar vermesi, sadece Stehfest algoritmasının bir sonucu da olabilir. Rezervuar modeli bilindiğinde, kuyu dibinde ölçülen basmç verileri kullanılarak formasyon yüzeyi akış debisi hesaplanabilir ve ölçülen akış debisi verileri ile kıyaslanabilir. Bu çalışmada çift gözenekli rezervuar modeli için üretilen kuyu dibi basmç verileri ile birlikte homojen rezervuar modeline ait analitik çözümler kullanılarak akış debisi hesaplanmıştır. Çift gözenekli rezervuar modeline göre üretilen akış debisi profili ve homojen rezervuar modeline göre hesaplanan akış debisi profili birbirine oldukça yakındır. Çift gözenekli rezervuar modeline göre üretilen basmç verileri ve homojen rezervuar modeline göre hesaplanan akış debisi verileri kullanılarak yapılan dekonvolüsyon uygulamasından elde edilen türev verileri homojen rezervuar modeline ait davranışı göstermektedir. Bu işlemler yayınlanmış saha örneği içinde tekrarlanmış ve benzer sonuçlar elde edilmiştir. Yapılan uygulamalardan kullanılan debi verilerinin debi dekonvolüsyonda ne kadar etkili olduğu görülmüştür. Kuyu başında ölçülen akış debisi birim adım değişikliği şeklinde olduğunda, dekonvolüsyon farklı debilerle üretim yapılması sonucu elde edilen basmç sinyalim, belli bir referans akış debisi ile üretim yapıldığında elde edilecek basmç sinyaline dönüştürür. Değişken yüzey debili basmç testleri için yapılan dekonvolüsyon işleminden hesaplanan türev verileri son logaritmik devirde radyal akış periyoduna ait davranıştan sapmaktadır. Bunun nedeni, akış debisi verilerinin sayısal Laplace dönüşümü sırasındaki geç zaman etkilerinden kaynaklanmaktadır. Basmç verileri üzerine % 0.5 oranında hata ekleyerek yapılan dekonvolüsyon uygulamalarında Stehfest parametresinin küçük değerlerinin (örneğin N=4) seçilmesi durumunda türev verilerinde görülen saçılım azalmaktadır. xvu Değişken debili testlerin analizi yapılırken bu çalışmada doğrusal olmayan en küçük kareler yöntemi kullanılmıştır. Bu yöntemle yayınlanmış bir saha örneği (değişken debili basınç yükselim testi) analiz edilmiştir. Değişken debili basmç yükselim testi Aganval değişken debili eşdeğer zamanı kullanılarak, eşdeğer basmç azalım testine dönüştürdükten sonra analizi yapılmıştır. Aynı veriler değişken debi etkileri göz önünde bulundurularak tekrar analiz edilmiştir. Eşdeğer zaman kullanılarak yapılan analizle elde edilen geçirgenlik ve zar faktörü değerleri, test zamanına göre analiz sonucu elde edilen geçirgenlik ve zar faktörü değerlerinden farklıdır. Test zamanına göre analiz sonucu elde edilen parametrelerin güvenilirlik aralıkları, eşdeğer zamana göre analiz sonucu elde edilen parametrelerin güvenilirlik aralıklarından daha küçük çıkmıştır.

In deconvolution method, the constant pressure behavior of the reservoir system is computed by using wellbore pressure and flow rate data. Since deconvolution is an application of an inverse problem, it is expected to be vulnerable to measurement errors (noisy) on the wellbore pressure and flow rate data. In this study, the effect of measurement errors on deconvolution of wellbore pressure and flow rate is investigated in detail. Deconvolution algorithms proposed in literature can be classified under two basic groups, Laplace domain algorithms and time domain algorithms. In this study, flow rate deconvolution, wellbore storage deconvolution and a real time deconvolution algorithm proposed by Kuchuk and Ayestaran were considered. Identically distributed normal random variables with mean zero and standard deviation were added both pressure and flow rate data. If reservoir model is known, flow rate is computed by using wellbore pressure and compared with the measured flow rate data. In this thesis, several applications related to this subject were done. If pressure measurements are recorded during all production periods, variable rate effects can be removed in the variable surface rate tests by deconvolution. Two synthetic examples were considered about variable surface rate testing. Finally, parameter estimation was performed by nonlinear least squares regression method for a field example. To investigate the effect of measurement errors on deconvolution, firstly, several flow rate deconvolution applications were performed for various error levels. When only pressure measurement data contain 0.1 % errors, deconvolved derivative data show the constant rate characteristics of reservoir model whereas when pressure measurement contain 1 % errors, deconvolved derivative data wildly oscillates around constant rate behavior (true solution) and one cannot identify the reservoir model. Like applications performed with pressure measurements contain errors, 0.1% errors were added to flow rate measurements. Deconvolved derivative data show the constant rate characteristics. When 1 % errors were added to flow rate measurements, deconvolved derivative data do not permit to identification of the reservoir model. As a result, measurement errors on wellbore pressure and flow rate data give the same effect. The effect of errors in both pressure and rate measurements were investigated. When we added the same level error to pressure and rate measurement by using the same seed value, deconvolved derivative data verify excellently the constant rate characteristic behavior. When the seed value was changed and the same level errors XIX were added, deconvolved derivative data verify the constant rate behavior at the last two logarithmic cycle. At the wellbore, errors in pressure measurement usually smaller than errors in flowmeter measurement. Due to this observation, we added 0. 1 % errors and 1 % errors to pressure and rate measurements, respectively, and deconvolved data. The deconvolved derivative data show oscillation around the true solution and reservoir model cannot been identified. When we employ Laplace domain deconvolution algorithms, numerical inversion algorithms are needed to invert Laplace pressure and rate function to time domain. There are several numerical inversion algorithms to achieve this task. The appropriate choice has been shown to be the Stehfest inversion algorithm because of its computational efficiency and smoothing property over the other algorithms. Stehfest parameters is very efficient to transform Laplace function to the time domain accurately. Flow rate deconvolution performed by using pressure and rate measurements contain errors for various Stehfest parameters. When we choose smaller Stehfest parameter values (N=2, 4 and 6) than the most commonly used Stehfest parameter value (N=8), flow rate deconvolution yields smoother deconvolved data for homogenous reservoir model. Unlike homogenous reservoir model, flow rate deconvolution does not yield smooth deconvolved data when Stehfest parameter values less than N=8 are used. In general, double-porosity reservoir model is more affected random errors in pressure and rate measurements than homogenous reservoir model. Both synthetic and published field example show that wellbore storage deconvolution yields unstable deconvolved pressure and derivative data at early times. Wellbore storage deconvolution does not remove wellbore storage effects exactly. From comparison of wellbore storage deconvolution and rate deconvolution which contain errors in pressure measurements, rate deconvolution is less sensitive to pressure errors than is wellbore storage deconvolution. Wellbore storage deconvolution gives permission to remove some or all of the storage effect by using increasingly larger values of wellbore storage coefficient. Several applications related to this subjects were performed. The deconvolution algorithm proposed by Kuchuk and Ayestaran was employed to investigate the effect of errors on real time deconvolution of pressure and flow rate data. When pressure or rate data contain 0.1 % errors, real time deconvolution algorithm yields oscillations and one cannot identify reservoir model. If the level of errors on pressure or rate data increases, deconvolved data oscillate wildly. When we added to pressure and rate measurement the same level error by using the same seed value, real time deconvolution yielded smooth deconvolved derivative data and reservoir model was recognized easily. When pressure measurements contain 0.1 % errors and rate measurements 1 % errors, deconvolved derivative data did not give permission to reservoir model. Generally, measurement errors on pressure and rate data affect real time deconvolution algorithm more than Laplace domain deconvolution algorithms. From all deconvolution applications, we can conclude that the effect of measurement errors on pressure and/or rate data are more pronounced for the real time deconvolution algorithm of Kuchuk and Ayestaran than the Laplace based deconvolution. It is believed that this conclusion is only due to smoothing property of Stehfest algorithm which is used for inversion in this study. xx If the reservoir model is known, flow rate is computed by using wellbore pressure and compared with the measured flow rate data. In this study, flow rate data were computed by using wellbore pressure data produced for double-porosity reservoir model and flow rate data produced for homogenous reservoir model. Measured flow rate profile for double-porosity reservoir model and computed flow rate profile for the homogenous reservoir model are nearly identical. Deconvolved derivative data from rate deconvolution by using measured pressure (produced from double-porosity reservoir) and computed rate data from homogenous reservoir resembled homogenous reservoir behavior. The same procedures were performed for published field example and the same conclusions were found. From all applications we can say that rate deconvolution is very sensitive to flow rate data. If wellhead rate behavior can be assumed to be as step changes, then deconvolution transforms variable surface rate pressure signals to pressure signal that would be obtained under constant surface production at a reference rate. Deconvolution for unit-rate change behavior yields oscillated deconvolved derivative data at last logarithmic cycle. Due to the late time effect of the Laplace transform of flow rate data, deconvolved derivative data deviate from radial flow behavior at last logarithmic cycle. Deconvolution applications by using pressure data contain errors shown that the oscillations of deconvolved derivative data decreases when smaller Stehfest parameter values (N=2,4, or 6) than most commonly used one are employed. Finally, nonlinear least squares regression method is used to analyze variable rate tests. A published field example (variable rate build-up test) was analyzed by using this method. Before the analysis of published field example, Agarwal multi-rate equivalent time was used to minimize multi-rate and production time effects and multi rate build-up test transformed equivalent drawdown test. Nonlinear regression was performed both equivalent drawdown test and multi-rate build-up test. The confidence interval for multi-rate build-up test is smaller than the confidence interval for equivalent drawdown test. This result shows the importance of accounting variable rate history by nonlinear regression analysis.