Mechanical behavior of the bi-directional beams

Abstract

Nanotechnology, which is one of the most developed areas of today's technology, has a widespread usage area because it can be easily integrated into many areas of engineering. The design and production of very small-scale functional materials in fields such as aerospace and aviation industry, medicine, energy and civil engineering, and their effective use in related fields make significant contributions to engineering science. The fact that these very small-scale materials used in many areas of technology have spread to almost every field of engineering has revealed the need to determine their internal structure and mechanical properties. Materials exhibit some mechanical behavior such as bending, torsion and buckling under loads. It is an important issue for the stability of the structure to be able to detect such mechanical effects in the most accurate way. In this sense, the dimensions of nanoscale structures, which are comparable to the distance between atoms that make up that material, have shown that the classical elasticity theory, which is currently widely used, is not sufficient in determining the mechanical behavior of such structures. Since the size effect is an important factor in nanoscale structures, defining a more general continuum model that includes such parameters increases the accuracy of the solution of the related problems. In this thesis, the bending and buckling behavior of beams is investigated within the framework of the strain gradient theory. In determining the mechanical behavior of nanostructures, the non-local elasticity theory, the couple stress theory and the strain gradient theory, which are proposed by respectable scientists such as Eringen and Mindlin, are widely used. The calculation load of the problem may increase depending on the loading, boundary conditions and geometric properties of the analyzed structure. Thus, the Initial Values Method is used to solve the problem in the thesis. The transport matrix approach is used for the static bending analysis of the beam within the scope of Initial Values Method. In the first part of the study, the bending behavior of the Euler-Bernoulli nano beam whose material properties change in two directions (bi-directional) is investigated. Therefore, it is assumed that the modulus of elasticity is variable along the axis and thickness of the beam. In the literature, the modulus of elasticity for a functionally graded material (FGM) is expressed in terms of arbitrary functions and the bending behavior is investigated for the first time within the scope of the gradient elasticity theory. In this context, the basic equations and boundary conditions (simply supported and fixed at both ends) are obtained with the help of Hamilton's principle for the beam under uniformly distributed load. While 4 end conditions can be written depending on the boundary conditions in the classical elasticity approach, 6 end conditions are obtained by using the gradient elasticity theory. While each loading case is required for the solution of the 6th order differential equation in the classical solution, the vertical displacements for two different types of loading cases are calculated by solving 3 linear equation systems based on 3 unknowns using the initial values method. As a result of the study, it was observed that the size effect decreased depending on the increase of nano beam length. In other words, the difference between local and non-local theory becomes important in small scales. However, it was observed that there is a lower vertical displacement in the bi-directional Euler-Bernoulli nano beam due to the increase in the inhomogeneous material constant (β). The accuracy and importance of the study for both boundary conditions are demonstrated with the help of graphics. In the second part of the study, the buckling behavior of the Euler-Bernoulli nano beam (FGM) whose material properties change in two directions (bi-directional) is investigated. Basic equations and boundary conditions are derived with the help of Hamilton's principle. Since the transport matrix cannot be calculated analytically for buckling analysis, the approximate transport matrix (Matricant) is used in the solution. Critical buckling loads are calculated for the classical theory of elasticity and the gradient elasticity theory depending on the number of intervals. In the results of study; It is observed that the first two terms of the transport matrix reflect the exact result if the number of intervals is chosen large enough. Remarkably, it is concluded that the first and second type of boundary conditions in the buckling calculation may depend on the type of material used. The accuracy of such a proposition can only be demonstrated more clearly by experimental studies. In addition, it is observed that the buckling resistance of the beam increases depending on the increase in the material characteristic length (γ). The accuracy and scientific contribution of the study is expressed with the help of the diagrams. The greatest contribution of the subject investigated herein to science is that it can guide the analysis and design of nanostructures used in many areas of technology. The importance of parameters such as the size effect and inhomogeneous material coefficient in the analysis of very small-scale structures has once again been demonstrated with strong propositions and results. Thus, it is supported by previous studies that theories such as the non-local elasticity theory and the gradient elasticity theory give more realistic results compare to the classical theory. With the design of micro and nano electro-mechanical systems (MEMS and NEMS), which are frequently encountered in the electronic device industry, as functional graded materials, it has become more important to determine the mechanical properties of such small-scale structures. In this sense, it is aimed that the relevant thesis study and the international publications published by us will make significant contributions to the literature.

Günümüz teknolojisinin en çok gelişme gösteren alanlarından olan nanoteknoloji, mühendisliğin birçok alanına kolayca entegre edilebildiği için yaygın bir kullanım alanına sahiptir. Özellikle uzay ve havacılık sanayi, tıp, enerji ve inşaat mühendisliği gibi alanlarda çok küçük ölçeklerdeki fonksiyonel malzemelerin tasarımı ve üretimi, onların ilgili alanlarda efektif kullanımı mühendislik bilimine önemli katkılar sağlamaktadır. Mühendislik yapılarında sıklıkla kullanılan bu tür malzemelerin çok küçük ölçeklerde olması onların iç yapısını ve mekanik özelliklerini tespit etme gereksinimini doğurmuştur. Malzemeler yükler altında eğilme, burulma ve burkulma gibi bazı mekanik davranışlar sergiler. Bunun gibi mekanik etkilerin en doğru biçimde tespit edilebilmesi yapı stabilitesi açısından önemli bir husustur. Bu manâda bilhassa nano ölçekteki yapıların boyutlarının o malzemeyi oluşturan atomlar arası mesafelerle kıyaslanabilecek ölçüde olması halihazırda yaygın olarak kullanılan klasik elastisite teorisinin bu tür yapıların mekanik davranışlarını belirlemede yeterli olmadığını göstermiştir. Nano ölçekteki yapılarda boyut etkisi önemli bir faktör olduğu için, içerisinde boyut parametrelerini de barındıran daha genel bir sürekli ortam modeli tanımlamak ilgili problemlerin çözümünün doğruluğunu artırmaktadır. Yirminci yüzyılın ortalarından itibaren yapılan çalışmalarda nano yapıların mekanik davranışlarının belirlenmesinde Eringen ve Mindlin gibi önemli bilim insanları tarafından önerilen yerel olmayan elastisite teorisi (non-local), gerilme çifti teorisi (couple stress theory) ve şekil değiştirme gradyanı teorisi (strain gradient theory) gibi teoriler ön plana çıkmaktadır. Eringen tarafından önerilen yerel olmayan elastisite teorisi -klasik teoriden farklı olarak- elaman içerisindeki bir noktaya ait gerilme durumunu ilgili noktaya komşu olan tüm noktaların bir fonksiyoneli olarak ifade edilebildiği zenginleştirilmiş yeni bir sürekli ortam modeli sunmaktadır. Oysa ki yerel teori bizlere belirli bir noktaya ait fiziksel tanımlamanın yalnızca o noktaya ait gerilmeler cinsinden ifade edilebildiğini önermekteydi. Şekil değiştirmenin hesaba katılmadığı bu yaklaşımın özellikle mikro ve nano ölçeklerdeki yapıların mekanik davranışlarını belirlemede yetersiz olduğu Eringen ve Edelen tarafından 1972 yılında yapılan öncül çalışmalarla ortaya konmuştur. Analiz edilen yapının yükleme durumu, sınır şartları ve geometrik özelliklerine bağlı olarak problemin hesap yükü artabilmektedir. Bu tez çalışmasında nanomekanik alanında yapılan çalışmalarda yaygın olarak kullanılan Euler-Bernoulli kirişlerinin eğilme ve burkulma davranışları şekil değiştirme gradanı teorisi kapsamında araştırılmıştır. Bilindiği üzere genel anlamda nano yapıların modellenmesi ve analizi için Euler-Bernoulli kiriş modeli ve kesme etkisinin de hesaba katıldığı Timoshenko kiriş modeli gibi teoriler bulunmaktadır. Geçmiş çalışmalarda nano kirişlerin eğilme ve burkulma davranışlarının çözümü için birçok farklı yöntem kullanılmıştır. Bununla beraber kiriş üzerinde malzeme özelliklerinin, eğilme rijitliğinin değişken olması ve/veya süreksizlik sayısının artması gibi durumlar problemin çözümünü zorlaştırmaktadır. Mustafa İnan tarafından 1964 yılında önerilen "Başlangıç Değerleri Yöntemi" birçok mekanik probleme uygulanabilmesi açısından önemli bir çözüm yöntemidir. Bu nedenle tez çalışmasında literatürde nano kirişlerin çözümünde de sıklıkla kullanılan başlangıç değerleri yönteminden faydalanılmıştır. Başlangıç değerleri yönteminde kirişin statik eğilme ve burkulma analizi için taşıma matrisi yaklaşımı kullanılmıştır. İlk bölümde malzeme özellikleri iki doğrultuda değişen (bi-directional) Euler-Bernoulli nano kirişin eğilme davranışı araştırılmıştır. Buna binaen kirişin ekseni ve kalınlığı boyunca elastisite modülünün değişken olduğu kabul edilmiştir. Literatürde ilk defa fonskiyonel olarak derecelendirilmiş bir eleman için elastisite modülü keyfi fonskiyonlar cinsinden ifade edilerek eğilme davranışı gradyan elastisite teorisi kapsamında incelenmiştir. Şekil değiştirme gradyanı (Strain Gradient Theory) teorisinde toplam gerilmeye ek olarak Cauchy gerilmesi ve gerilme çifti de yazılmaktadır. Bu bağlamda temel denklemler ve sınır şartları (basit mesnetli ve iki ucu ankastre olarak) düzgün yayılı yük etkisi altındaki kiriş için Hamilton prensipi yardımıyla elde edilmiştir. Klasik elastisite yaklaşımında mevzu bahis menetlenme koşullarına bağlı olarak 4 adet uç koşulu yazılabilirken, gradyan elastisite teorisi kullanılarak 6 adet uç koşulu elde edilmiştir. Problemin daha sade bir forma indirgenmesi ve böylece çözümün kolaylaşması açısından bazı boyutsuz parametreler tanımlanmıştır. Klasik çözümde 6'ncı dereceden diferansiyel denklemin çözümü için her bir yükleme durumuna ihtiyaç duyulurken, başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak 3 bilinmeyene bağlı olarak oluşturulan 3 lineer denklem sistemi çözülerek iki farklı tip sınır koşulu için düşey yer değiştirmeler hesaplanmıştır. Çalışma sonucunda nono kiriş uzunluğunun artmasına bağlı olarak boyut etkisinin küçüldüğü görülmüştür. Başka bir deyişle eleman boyutu küçüldükçe boyut etkisinin önemi artmaktadır. Bununla beraber homojen olmayan malzeme sabiti (β)'nin artışına bağlı olarak bi-directional Euler-Bernoulli nano kirişte daha düşük bir düşey yer değiştirme olduğu gözlenmiştir. Her iki sınır şartına bağlı olarak çalışmanın doğruluğu ve önemi grafikler yardımıyla ortaya konmuştur. İkinci bölümünde ise yine malzeme özellikleri iki doğrultuda değişen (bi-directional) Euler-Bernoulli nano kirişin (FGM) burkulma davranışı araştırılmıştır. Yine bu çalışma ile FGM olarak üretilmiş Euler-Bernoulli kirişinin burkulma davranışı ilk kez gradyan elastisite teorisi kapsamında başlangıç değerleri yöntemi ile ele alınmıştır. Temel denklemler ve sınır koşulları Hamilton prensibi yardımıyla türetilmiştir. Burkulma hesabı için taşıma matrisi analitik olarak hesap edilemediğinden çözümde yaklaşık taşıma matrisi (Matricant) kullanılmıştır. Kritik burkulma yükleri klasik elastisite teorisi ve gradyan elastisite teorisi için farklı aralık sayısına bağlı olarak hesaplanmıştır. Problemin çözümünde hesap kolaylığı açısından boyutsuz parametreler tanımlanmıştır. Kritik burkulma yüklerinin hesabı için homojen lineer denklem sisteminde katsayılar matrisinin determinantı sıfıra eşitlenerek matrisin öz değerleri hesaplanmıştır. Bu çalışmayla birlikte aralık sayısının yeterli genişlikte seçilmesi durumunda taşıma matrisine ait ilk iki terimin kesin sonucu büyük ölçüde yansıttığı görülmüştür. İkinci tip sınır koşulu için elde edilen kritik burkulma yüklerinin, birinci tip sınır şartı için hesaplanan kriitik burkulma yüklerinden her zaman daha küçük olduğu görülmüştür. Burkulma hesabı için kabul edilen birinci ve ikinci tip sınır şartlarının kullanılan malzemeye göre değişebileceği fikrine varılmıştır. Böyle bir önermenin doğruluğu ancak yapılacak deneysel çalışmalarla daha net bir şekilde ortaya konulabilir. Bununla beraber malzeme karakteristik uzunluğu γ'nın artışına bağlı olarak kirişin burkulma direncinin de arttığı görülmüştür. Çalışmanın doğruluğu ve bilimsel katkısı kullanılan diagramlar yardımıyla ifade edilmiştir. Burada araştırılan konunun bilime en büyük katkısı teknolojinin birçok alanında kullanılan nano yapıların analizine ve tasarımına yön gösterebilecek nitelikte olmasıdır. Çok küçük ölçekteki yapıların analizinde boyut faktörünün ve homojen olmayan malzeme katsayısı gibi parametrelerin önemi yapılan çalışmayla bir kez daha kuvvetli önermeler ve sonuçlarla ortaya konmuştur. Böylece yerel olmayan elastisite torisi, gradyan elastisite teorisi vb. teorilerin klasik teoriye göre daha gerçekçi sonuçlar verdiği geçmiş çalışmalarla birlikte desteklenmiştir. Ek olarak, özellikle elektronik aygıt sanayisinde sıklıkla karşımıza çıkan mikro ve nano elektro-mekanik sistemler (MEMS ve NEMS)'in fonskiyonel derecelendirilmiş malzemeler olarak dizayn edilmesi ile bu tür küçük çaptaki yapıların mekanik özelliklerinin belirlenmesi daha da önem kazanmıştır. MEMS ve NEMS gibi yapıların eğilme, burulma, burkulma, titreşim ve sıcaklık gibi etkilere bağlı olarak deformasyonu önemli bir fenomen olarak karşımıza çıkmaktadır. Geçmiş çalışmalar bilhassa bu gibi mekanik etkileri azaltmak ya da öneleyebilmenin ilgili elemanları kompozit ya da fonksiyonel derecelendirilmiş olarak dizayn etmek ile mümkün olduğunu göstermiştir. Bu bağlamda ilgili tez çalışmasının ve bu kapsamda üretilen uluslararası yayınların litüratüre önemli katkılar sunması amaçlanmıştır.