Kontrollü lagrange yöntemleri ve uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışmasında eksik sürülmüş sistemlerin enerji tabanlı kontrol yöntemleri olan Kontrollü Lagrange ve IDA-PBC (Interconnection and Damping Assignment Passivity-Based Control) yöntemleri ele alınmıştır. Eksik sürülmüş sistemler, sistemin eyleyici sayısının, serbestlik derecesinden az olduğu, dolayısıyla tüm hareketlerinin doğrudan kontrol edilemediği sistemlerdir Bu tür sistemler, mühendislikte özellikle robotik, havacılık, denizcilik ve otomotiv gibi alanlarda sıkça karşılaşılır. Karmaşık dinamik yapıları nedeniyle, bu sistemler kontrolü zor olan sistemler arasında yer alır. Tez çalışmasında, öncelikle klasik mekaniğin tarihsel gelişimi ve varyasyonel hesaplama yaklaşımı ele alınarak, bu yaklaşımların Euler-Lagrange ve Hamiltonian sistemlere uygulanışı incelenmiştir. Bu bağlamda, varyasyonel hesaplamanın temel ilkeleri, Euler-Lagrange denklemlerinin türetilmesi ve bu denklemlerin mekanik sistemlerin modellemesinde nasıl kullanıldığı açıklanmıştır. Aynı zamanda, Hamiltonian sistemlerin temel prensipleri ve bu sistemlerin kontrolü için kullanılan enerji tabanlı yöntemler de ele alınmıştır. Kontrollü Lagrange yöntemi, EL sistemlerin kontrolü için kullanılan bir yöntem olup, sistemin enerji fonksiyonunu şekillendirerek kapalı çevrim sistemin istenen denge noktasındaki kararlılığı sağlamayı hedefler. IDA-PBC yöntemi ise, Hamiltonian sistemlerin kontrolünde kullanılan bir yöntem olup, aynı şekilde sistemin enerji fonksiyonunu şekillendirerek ve sönüm ekleyerek kapalı çevrim sistemin pasifliğini ve dolayısıyla kararlılığını sağlamayı amaçlar. Her iki yöntemde de, kapalı çevrim sistemin kararlılığı sağlanırken, EL ve Hamiltonian sistem olma özelliği korunur. IDA-PBC ve Kontrollü Lagrangian yöntemleri, eksik sürülmüş lineer olmayan sistemlerin kontrolü için güçlü birer araç olsalar da, kontrol kuralının varlığı ancak eşleşme koşulu adı verilen bir dizi lineer olmayan ve homojen olmayan PDE'lerin çözülmesiyle mümkündür. Bu PDE'lerin her durumda çözümü bulunmamaktadır, bu da bahsedilen yöntemlerin en zorlayıcı noktasıdır. Bu tez çalışmasında ayrılabilir (seperable) Hamiltonian sistemlerde eşleşme koşullarının göreceli olarak daha kolay çözülmesi fikrinden yola çıkarak geliştirilen Gören-Sümer ve Şengör (2015)'de önerilen yöntem geliştirilerek Euler Lagrange sistemlere genişletilmiştir. Bu tez çalışmasında önerilen yöntem, eşleşme koşullarının yaklaşık çözümleri, kapalı çevrimli sistemin genelleştirilmiş atalet matrisinin bir dizi sabit atalet matrisinin radyal baz fonksiyonları kullanılarak doğrusal olmayan bir kombinasyonu ile yaklaşık olarak ifade edilmesine dayanmaktadır Eşleşeme koşullarının yaklaşık çözümü ile elde edilen kontrol kuralı kullanıldığında dahi, kapalı çevrim sistemin kararlılığının sağlanabildiği gösterilmiştir. Bu çalışmanın son aşamasında, tezde önerilen yöntemlerin çeşitli mekanik sistemler üzerindeki uygulamaları incelenmiştir. Vinç sistemi, TORA, top ve çubuk, top ve tabla sistemi gibi örnekler kullanılarak, önerilen yöntemin, literatürde bulunan örnekler üzerinde uygulamasına yer verilmiştir. Bu uygulamalar, önerilen yöntemin yaygın olarak kullanılabilirliğini ortaya koymuştur. Sonuç olarak, bu doktora tez çalışması, eksik sürülmüş sistemlerin kontrolünde kullanılan enerji tabanlı yöntemler olan IDA-PBC ve Kontrollü Lagrange yöntemlerinin temel zorluğu olan eşleşme koşullarının çözülmesi konusuna bir katkı sunmaktadır. Elde edilen sonuçlar, eşleşme koşullarının çözümlerinin yaklaşık olarak bulunduğu durumda dahi, enerji tabanlı kontrol yöntemlerinin, eksik sürülmüş sistemlerin kararlılığını sağlamada etkili araçlar olduğunu göstermektedir. Bu çalışma, ilgili alanda çalışacak araştırmacılara bu yöntemlerin daha karmaşık sistemler için nasıl geliştirilebileceği ve uygulanabileceği konusunda yol gösterici olacaktır.