Çatlamış kirişlerin dinamik özellikleri ve burkulma yükleri

Abstract

Winkler tipi elastik zemine oturan, bazı bölgelerinde rijitliği azaltıcı kusurları olan değişik sınır koşullarında kirişler incelenmiştir. Bu incelemede sonlu elemanlar yöntemi kullanılarak kirişler 10 elemana bölünmüş elastik zemin sabiti kf nin değişik değerlerinde ( kr = 0, kf = 1000, kt- = 5000 t/m" ) çeşitli bozulma oranlarında doğal titreşim frekansları bulunmuştur. Ayrıca aynı bozulma oranlan için eksenel dış yük kirişin elemanlarına ayrı ayrı etki ederken burkulma yükleri bulunmuştur. Sonuçlar değerlendirilmiştir. Ek - A da kiriş 10 elemanlı düşünülmüş ve her elemanında rijitlikteki bozulma oranı ( 1/8,2/8, 3/8, 4/8, 5/8, 6/8, 7/8, 8/8 ) alınarak doğal titreşim frekansları bulunmuştur. Bulunan değerler grafik olarak gösterilmiştir. Bulunan tablolar birleştirilerek toplu halde verilmiştir. Ek - B de aynı bozulma oranlan ile eksenel dış yük sağ uçtan sol uca elemanlar boyunca kaydırılarak burkulma yükleri bulunmuştur. Yine bulunan değerler grafik olarak gösterilmiş ve her grup için tablolar birleştirilerek toplu halde verilmiştir. Ek - C ve Ek - D de basit kiriş için burkulma yükleri ve doğal titreşim frekanslarının bulunmasında standart tablo programlarından QUATTRO PRO da kullanılan şablon genelleştirilerek verilmiştir.

A beam resting on an elastik foundation with spring constant of kt- in the length of L and uniform cros section and subjected to axial P enternal load and in the a-b region decreasing the stiffness is considered as seen in the figure ( 1 ). The beam is divided into ten elements. Except the boundary conditions every part of it have two unknovn objects which are v and S. H, is the ratio of deformed stiffness to the essential one. According to this, the potantial energy of the bar which has a changing stiffness between a-b is U= - o f.9V, 1 r,_", ".. JY-S^ |EIW^jdx + ^{EK(x,-EIW}^j dx - fk'GA[- -») dx + -Jk, v:dx-^J P \~ dx...(I) 2 i Vrx J 2J, 2 J, VdxJ Where E, Young modulus; I, inertia moment; K, inertia moment of the deformed part; k\ shear coefficiant; G, shear modulus; P, axial external load and A, area. Also the kinetic energy of the beam is -;M$)'fc4Mt)'* T'= 2İpAlrtJdX+lJPİlirJdX ?',:) Where p is the mass in unite volume of the beam material. For the displacement expression, the foolowing cubic displacement function is chosen on the point of a(>-a-, are constants: v = a().-? i\\ x ' - a>x t- a^x' (3) ^srr- 1 - T -*-r Beam resting on an elastic foundation v = [ Nvi Nv2 Nv3 Nv4 ] Vj VJ »J (4) » = [N»i N»2 N»j NM] 3i »j Where Nvl=l-3^- + 2^ Nv2=[$-2Ç2 + !;3]// Nv3=3£2-2Ç3 N" = [-6^ + 6^]// Na2 = 1 - 4Ç + 3Ç2 Nw = [ 6Ç - 6£2 ] / / Nw = -2Ç + 3^2 Ç = x / / Bending displacement can be written as; (5) [BV] = A[NV]...(6) dx [Bb] = -£[N9]...(7) By the help of above equations, using displacement vectors, potential energy If and kinetic energy T can be written as; Ue = ^{q}eT[Kbr{q}e +^{qrT[Kfr{q}e -^{q}eT[Kg]e{q}e...(8) Te = |{q'r-T[Mt]c{q'r.-(9) Where [Kb]- J[BJTEI[Bb]dx 0 = Bending stiffness matrix [Kf]"=J[Nv]Tkr[Nv]dx 0 = Foundation stiffness matrix [KJe= JP[Bv]T[Bv]dx 0 = Stability matrix [M,]e =J [Nv]TpA[Nv] (I = Mass Matrix XVI fi i V )'j 1- Şekil 2.2 Uç deplasmanlarının pozitif yönleri M. ~\MJ MT- v ! T,K Şekil 2.3 Uç kuvvetlerinin pozitif yönleri The clear expressions for the element matrix are given ; [Kb]c = EI r 12 6/ -12 6/ 4? -6/ 2/2 12 -6/ -/f [Kf]e = kf/ 13/35 11//210 9/70 -13//420 /2/105 13//420 -/2/140 L 13/35 -11//210 A2/ 105 XVII [Kg]e = P// 6/5 V10 -6/5 1/10 2/-/15 -110 /-/30 6/5 410 2f 15 [Mt]c = pA/ 13/35 11//210 9/70 -13//420 /2/105 13//420 -/2/140 13/35 -11//210 /7105 Equations The total energy or Lagrange function ^£ for the whole beam is given as the sum of energies of elements ; +£= I ( Ue - Te ) (10) According to Hamilton's princible ; +£ =0 If L is put in the Hamilton principle ;...(11) [K]{q}-[S]iqi + [M] jq }=0...(12).Will is obtained. Where ; = Displacement vector The above equation load us the solution of the two problems ; i. Free vibration : ([K]-co2[M]){q}=0...(17) h. Static buckling : ([K]-P[S]){q}=0...(18) Free vibration frequency (co) and buckling load (P) are solved by the above equations. Numerical values used in the solution is A = 0.25x0.25 = 0.0625 [m2] I = 0.254/ 12 = 0.000325521 [m4] E = 2850000 [t/m3] L = 5 [m] / = 0.5[m] p = 2.5 [t/m3]