Bazı analitik fonksiyonlar için subordinasyon ve argüman davranışı üzerine yeni uygulamalar

Abstract

Yalınkat fonksiyonlar, kompleks analizin dikkat çeken konularından biridir. Bu alanda günümüzde de çalışmalar yapılmaktadır. Geometrik fonksiyon terosinin bir parçası olarak konformal dönüşümlerle, geometrik yapılarla ve sınır davranışlarıyla olan incelemeleri ile yalınkat fonksiyonlar, kompleks analizde hem klasik hem de güncel araştırmaların dikkat çeken konuları arasında yer almaktadır. Bu tezin temel amacı U= {z∈C∶ |z|<1} açık birim diski üzerinde tanımlanmış bazı analitik fonksiyonlar için subordinasyon ve argüman özelliklerinin incelenmesidir. Bu nedenle keyfi seçilen basit bağlantılı bölgeler yerine U da tanımlı yalınkat fonksiyonlarla çalışmak çoğu zaman daha uygundur. Tezdeki ilk çalışma olarak fonksiyonların türevlerinin varolması ve sürekli olması koşullarıyla analitik fonksiyonlar tanımlanmaktadır. Bir D⊂C bölgesindeki analitik fonksiyonların yalınkat olma durumu ise yalınkat bir fonksiyonun bölgeyi birebir olarak başka bir bölgeye dönüştürmesi koşuluyla incelenmektedir. Bu yalınkat görüntü, analitik fonksiyonların görüntüleri ile ilgili detaylı bir araştırma yapılmasını sağlar. A ile temsil edilen analitik fonksiyonlar sınıfının bir alt sınıfı olan ve birim diskte f(0)=f^' (0)-1=0 ile normalize edilmiş yalınkat fonksiyonları gösteren S sınıfının en önemli örneklerinden biri de Koebe fonksiyonudur. Koebe fonksiyonu ve onun rotasyonları, yalınkat fonksiyonlar teorisinde birçok ekstremal problem için keskin sınırların elde edilmesinde temel bir rol oynamaktadır. Eşitsizliklerin en uç durumları Koebe fonksiyonu ve onun rotasyonları tarafından sağlanmaktadır. Eğer bir teorem Koebe ve rotasyonları için doğruysa, genellikle tüm S sınıfı için doğrudur. Yalınkat fonksiyonlara ait olan alt sınıfların en önemlilerinden ve bu tezde de üzerinde duracağımız ikisi konveks ve yıldızıl fonksiyonlardır. Konvekslik ve yıldızıllık bir fonksiyonun görüntü kümesinin belirli bir şekle sahip olduğunu ifade eder. Geometrik olarak, aralıktaki herhangi iki noktayı birleştiren doğru parçasının tamamen grafiğin içinde kalması ile konveks fonksiyon, herhangi bir noktayı orijine birleştiren doğru parçasının tamamının görüntü kümesinin içinde kalması ile de yıldızıl fonksiyon ifade edilir. f(z) ifadesi bir fonksiyonun nerede olduğunu gösterir. f^' (z) ifadesi fonksiyonun değişimini gösterir. (zf^' (z))/(f(z)) ve 1+(zf^'' (z))/(f^' (z) ) ifadeleri de fonksiyonun ne kadar döndüğünü ve ne kadar büyüdüğünü gösterir. Konveks ve yıldızıl fonksiyonların α-mertebeli olması ile ilgili de çalışmalar ele alınmıştır. Konveks ve yıldızıl fonksiyonların reel ve imajiner kısım incelemeleri ve α ya bağlı olarak güçlü olma, dönme ve büyüme durum incelemeleri yapılmıştır. Tek değişkenli fonksiyonlarda yapılan çalışmalara ek olarak tezin son bölümünde p-valent fonksiyonlar üzerinden de bazı çalışmalar vurgulanmıştır. A_p sınıfı, taylor seri açılımlarında belirli bir başlangıç terimine ve yüksek dereceden terimlere sahip fonksiyonları içermektedir. Bu fonksiyonların açık birim disk içerisinde incelenmesi yani analitik özelliklerinin, argüman davranışının ve subordinasyon karakteristiklerinin araştırılmasını kapsamakta olup çeşitli ilginç ve önemli sonuçların elde edilmesine yol açmaktadır. Karmaşık analizde bu alan, argüman problemleri ve subordinasyon gibi kavramlar aracılığıyla fonksiyonların davranışlarını incelemekte bu fonksiyonların geometrik özellikleri nasıl dönüştürdüğüne ve fonksiyonların nasıl çizildiğine dair yeni bulgular ortaya koymaktadır. Bu gelişmeler analitik fonksiyonların teorik özelliklerinin ve pratik uygulamalarının birleşimini anlamamıza yardımcı olmaktadır. A_p sınıfıyla ilişkili olarak (A_p ) ̅ sınıfı şeklinde yeni bir sınıf tanıtılmaktadır. Bu sınıf, A_p sınıfının açık birim disk üzerinde tanımlı, analitik ve kesirli kuvvetler içeren özel bir seri açılımına sahip fonksiyonlardan oluşan bir alt sınıfını ifade eder. Bu alt sınıfta yapılan çalışmalar bir çerçeve sunmakta ve ayrıca bu analitik fonksiyonların karmaşık argüman problemlerinin çözümünde nasıl kullanılabileceğini araştırmaktadır. Geometrik fonksiyonlar teorisindeki son gelişmelerde, bu sınıfa ait analitik fonksiyonlar için yeni uygulamalar önemli ölçüde ilgi görmektedir. Belirli subordinasyon koşullarını sağlayan bu fonksiyonlar, argüman problemleri ve bunların sonuçları hakkında yeni bakış açıları vermektedir. A_p sınıfının p-valent, j inci türevlerinin güçlendirilmiş hali olan A_p (j,α) özel alt sınıfıyla ilgili de çeşitli örnekler üzerinden incelemeler yapılmıştır. Subordinasyon, karmaşık analizde, özellikle analitik fonksiyonlar teorisinde temel bir kavramdır ve bir fonksiyonun görüntüsünün diğer bir fonksiyonun görüntüsü içinde kalması yoluyla iki analitik fonksiyonun davranışlarını karşılaştırmaya imkân tanır. Geometrik olarak, subordinasyon, bir analitik fonksiyonun, bileşim yoluyla başka bir analitik fonksiyon tarafından kontrol edilmesini ifade eden bir ilişkiyi tanımlar. Bu kontrol sayesinde davranışı iyi bilinen bir fonksiyona göre durumu incelenmiş olur. Bu sayede konformal dönüşümler, distorsiyon, sınır davranışları, geometrik yapı ve buna benzer birçok alanda özellikler hakkında önemli bilgiler sunar. Ayrıca, subordinasyon kavramı ayrıntılı biçimde ele alınmış ve birim disk içinde tanımlı analitik fonksiyonlar ile yalınkat ve p-valent fonksiyonlara nasıl subordine olabileceği incelenmiştir. Özellikle yalınkat fonksiyon sınıflarının incelenmesinde ve ekstremal problemlerin çözümünde önemli bir rol oynamaktadır. Bu çalışmada yapılan tartışmalar, (A_p ) ̅ sınıfındaki fonksiyonların davranışları üzerinde argümanlarının ve kesirli kuvvetli üslerin etkisinin analiz edilmesinin önemini ortaya koymaktadır. Fejér ve Riesz lemmalarından elde edilen özellikler ile Tsuji'nin bu sonuçlara getirdiği genişletmelerden yararlanılarak, söz konusu fonksiyonların analitik karakteristikleri hakkında daha derin bir anlayış sağlanmıştır. Suffridge lemması kullanılarak, bu subordinasyon ilişkisinin bu sınıftaki fonksiyonların yapısı ve davranışı hakkında önemli bilgiler ortaya koyduğu gösterilmiştir. Verilen dikkat çekici örnekler aracılığıyla, bu çerçeveden elde edilen sonuçların pratik yansımaları ortaya konmuş; fonksiyonların dönüşüm (mapping) özellikleri ve geometrik etkileri üzerine yeni bakış açıları sunulmuştur. Bu örnekler, kesirli kuvvetli seri açılımlarına sahip analitik fonksiyonların karmaşık analizdeki rolünü vurgulayarak, teorik sonuçların uygulamaya dönük önemini açıkça göstermektedir. Sonuç olarak, bu tez çalışması analitik ve yalınkat fonksiyonların argüman davranışları ve subordinasyon açısından bazı uygulamalarını içermektedir. Elde edilen sonuçlar, konveks ve yıldızıl fonksiyonlar, α mertebeli fonksiyonlar ve kesirli kuvvet serileriyle ilişkili, p-valent fonksiyonların daha iyi anlaşılmasını sağlamaktadır. Ayrıca, bu çalışmada sunulan yöntemler ve sonuçlar, söz konusu fonksiyon sınıflarının ek özelliklerinin ve uygulamalarının incelenebileceği gelecekteki araştırmalar için bir temel oluşturmakta ve geometrik fonksiyonlar teorisi ile kompleks analizdeki rollerinin daha derinlemesine kavranmasına katkı sunmaktadır. Bu bize analitik ve yalınkat fonksiyonlarla ilgili yeni bir yol haritası çizilmesini sağlamaktadır.