Tabakalı akımların hidrodinamiği, akım ve karışım parametrelerinin matematik modeli

Abstract

İnsanlık tarihi boyunca boğazlar önemli bir odak noktası olmuştur. Bu ilginin temel nedeni boğazların okyanuslara, denizlere, göllere kıyasla çok farklı bir yapıya sahip olmasıdır. Boğazlar kabaca iki denizi birbirine bağlayan dar kanallar olarak tanımlanabilir. Tüm bunlara ek olarak boğazların sahip olduğu iki tabakalı akım yapısı, boğazlara karşı olan merak ve ilgiyi daha da arttırmaktadır. Boğaz yapılarındaki tabakalaşma birbirine zıt yönlü akımlardan oluşmaktadır. Boğazlardaki bu zıt yönlü akımı ise boğazın birbirine bağladığı iki büyük su kütlesinin su seviyesi farkı ve yoğunluk farkı oluşturmaktadır. Su seviyesi farkının neden olduğu yüksek potansiyelden düşük potansiyele doğru oluşan, yoğunluk farkından kaynaklanan yüksek yoğunluğa sahip kısımdan düşük yoğunluğa sahip kısıma doğru akan zıt yönlü ikinci bir akım mevcuttur. Aktarılan bu tabakalı sistemin hidrodinamiğinin ve akım koşullarının incelenmesi ve daha iyi anlaşılabilmesi için gerek saha ölçümleri gerekse matematiksel ve sayısal modeller uzun bir süredir kullanılmaktadır. Öncelikle literatürde tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşulları için yapılan çalışmalar incelenmiştir. Yapılan bu kapsamlı çalışmalar sayesinde tabakalı akımlar derinlemesine incelenmiş ve tabakalı akımların akım mekanizması bu tez kapsamında özetlenmiştir. Özellikle yapılan saha ölçümleri ve matematiksel modellerin birbiri ile kıyaslanması bu konunun ne kadar ilgi çekici ve bir o kadar önemli olduğunun en önemli göstergelerindendir. Yapılan çalışmalar gösteriyor ki oluşan tabakalaşmanın stabilitesinin ölçütü olarak boyutsuz Richardson sayısı kullanılmaktadır. Tabakalar arası karışım Richardson sayısına bağlı bir fonksiyon olarak ifade edilebilmektedir. Farklı akım koşullarına göre, Richardson sayının değerine göre, bu fonksiyon için farklı kasayılar da tercih edilmekte olup bu durum akımın Reynolds sayısı ile ilişkilendirilmektedir. Özellikle Richardson sayısının çarpanı ve üssü olan sabitlerin belirlenebilmesi için birçok farklı yaklaşım söz konusudur. Bu yaklaşım için karışımın Richardson sayısı ile ters orantılı olacağı genellemesini yapmak yanlış olmayacaktır. Yani Richardson sayısı arttıkça ara yüzeydeki karışım miktarı azalırken Richardson sayısı azaldıkça ara yüzeydeki karışım miktarı artmaktadır. Bir diğer önemli nokta ise tabakalar arası hızların zıt yönlü olmasından dolayı hız değerlerinin toplamıyla işlem yapmak gerektiğidir. Tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşullarını inceleyen disiplininde yapılan birçok çalışmada genellikle tabakalar arası karışım ihmal edilip çözüm mekanizması geliştirilmiştir. Tabakalar arası karışımın ihmal edilmediği çalışmalarda ise çok daha karmaşık sistemlerin çözülmesi zorluluğu ortaya çıkmaktadır. Bu tez kapsamında da tabakalar arası karışım göz ardı edilmeden ve boğazın hidrodinamik koşulları yansıtılarak daha etkin bir çözüme ulaşmak hedeflenmiştir. Bu etkin matematiksel çözümün girdi parametreleri değiştirilerek istenilen herhangi bir boğaz için çözüme ulaşabilmek bu tezin ortaya çıkışında temel yapı taşı olmuştur. Amaçlanan bu hedef doğrultusunda, modelin uygulanması için en uygun boğaz sisteminin ülkemizde bulunan ve Avrupanın da en önemli boğaz sistemlerinden biri olan İstanbul ve Çanakkale Boğazları (Türk Boğazlar Sistemi) olduğu su götürmez bir gerçektir. Gerek tarih boyunca taşıdıkları önem gerekse fiziki özelliklerinden dolayı bir çok kapsamlı çalışmaya konu olan bu boğaz sistemi bu tez kapsamında da incelenmiş ve karışım mekanizması ortaya konulmaya çalışılmıştır. Modelde amaçlanan bir diğer nokta ise girdi parametrelerinin değiştirilerek farklı akım koşulları için sonuçların elde edilebilmesidir. Alt ve üst tabakaların akım debileri ve tabaka derinlikleri daha önce yapılmış olan çalışmalar ışığında alınan ortalama girdi parametreleri değerleri ile hesaplanmıştır. Özellikle boğazlardaki yoğunluk farkına neden olan tuzluluk oranın farklı değerler alması halinde model sonuçlarının nasıl değişeceğinin belirlenmesi amaçlanmıştır. Daha sonra farklı tuzluluk değerlerinin alt ve üst akımın debi ve derinlik değerlerine etkisinin daha iyi anlaşılabilmesi için model tuzluluk farkına göre parametrik olarak çalıştırılmıştır. Bu aşamada üst ve alt tabaka akımlarının baskılanıp durma seviyesine geldikleri limit su seviyesi farkı değerleri de hem İstanbul Boğazı hem de Çanakkale Boğazı için tuzluluk farkı bir fonksiyonu olarak elde edilmiştir. Bu sonuçlardan açıkça görülmektedir ki, üst ve alt tabakadaki tuzluluk farkı arttıkça akımı durma noktasına getiren limit su seviyesi farkı da hem üst hem de alt tabaka için artmaktadır. Bu matematik model sonuçları, daha önce yapılan çalışmasında elde edilen üst ve alt akım debileri ve net debi farkı değerleri ile karşılaştırıldığında uyumlu sonuçlar elde edilmiştir. Bu yüksek lisans tezi kapsamında uygulanan matematik model ile daha önce ortaya konulmuş olan dört bilinmeyenli dört denklem takımı esas alınarak, bunlara ek olarak dört bilinmeyen ve dört denklem takımı daha eklenerek tabakalı akımların hidrodinamiği ve akım koşulları göz önünde bulundurularak karışım mekanizması çözülmeye çalışılmıştır. İlk denklem takımında bilinmeyenler alt ve üst tabaka debileri ve boğaz yapısının iki ucundaki su seviyesi yükseklikleridir. Bu bilinmeyenlerin çözümünde kullanılan denklem takımları ise iki adet enerji denklemi ve iki adet su kütlesi korunumu denklemi ve Froude Şartı denklemidir. Bu tez kapsamında karışım mekanizmasının da çözümlenebilmesi için eklenen dört bilinmeyen ise alt tabakadan üst tabakaya ve üst tabakadan alt tabakaya geçen karışım debileri ve boğaz yapısının giriş-çıkısındaki tuzluluk değerleridir. Çözüm için kullanılan ek denklemler ise iki adet karışım hızı denklemi ve iki adet tuz kütlesi sürekliliği denklemleridir. Hazırlanan bu denklem takımları neticesinde alt tabakadan üst tabakaya, üst tabakadan alt tabakaya geçen karışım debileri ve tuzluluk değişimleri ortaya konulmaya çalışılmıştır. Çanakkale Boğazı'nın ortalama su seviyesi için karışım içeren matematiksel modelden elde edilen matris incelendiğinde, üretilen bulguların literatürdeki değerlerle örtüşmediği ortaya çıkmaktadır. Bu farklılığın olası nedenini belirlemek için kullanılan denklem setlerinin sonuçları dikkatlice incelenmiştir. Modelde kullanılan Froude durum denklemlerinin Çanakkale Boğazı için istenen sonucu veremeyebileceği, çünkü Çanakkale Boğazı'nın geometrisinin neden olduğu su seviyesi ve akış rejimindeki kademeli değişimin durumu yansıtamayacağı sonucuna varılmıştır. Sonuç olarak İstanbul Boğazı için elde edilen karışım debileri ve tuzluluk değerleri bu güne kadar yapılmış olan modellerle ve saha ölçümleri ile karşılaştırıldığında tutarlı sonuçlar elde edilmiştir. Özellikle oluşturulan modelin tüm tabakalı akımlar için girdi parametrelerini belirleyerek sonuç vermesi ve diğer matematiksel modellere kıyasla işlem yükünün daha az olması bu modelin avantajlarıdır. Unutulmamalıdır ki bu tür matematik model yaklaşımları hem saha ölçümlerine hem de laboratuvar deneylerine ek olarak bu tarz mekanizmaların incelenmesinde ve anlaşılmasında çok önemli rol oynamaktadır. Tüm bunlara ek olarak, modeldeki karışım mekanizmasının daha hassas temsil edilebilmesi için, karışım denklemleri Boğaz boyunca her 100 m aralık için çözülmüş ve matematik modele toplam karışım debisi olarak yansıtılmıştır. Ancak bu yaklaşımla da elde edilen sonuçlarda İstanbul ve Çanakkale Boğazı için aynı sonuçlar elde edilmiş ve işlem yükü çok daha üst seviyelere gelmiştir. Yani bu yüksek lisans tezinin çıkış noktası olan boğazdaki karışım debilerinin etkili ve pratik bir şekilde hesaplanabilmesi ilkesinin dışına çıkılmış olmaktadır.