Öklid Uzaylarının Sıfırlı 2-tipinden Yüzeyleri

Abstract

Bu çalışmada, Em Öklid uzayının sıfırlı 2-tipinden yüzeyleri incelenmiştir. Sıfırlı 2-tipinden alt manifoldlar, Laplace operatörünün kesin olarak biri sıfır ve diğeri sıfırdan farklı olacak şekilde iki özdeğerine karşı gelen özfonksiyonları tarafından oluşturulur. Buna göre, E3 Öklid uzayında bir M yüzeyinin sıfırlı 2-tipinden olması için gerek ve yeter koşulun M yüzeyinin bir çembersel silindirin açık bir parçası olması gerektiği ispatlanmıştır. E4 Öklid uzayının sıfırlı 2-tipinden yüzeyleri, ortalama eğrilik vektörünün paralel olup olmamasına göre incelenmiştir. E4 Öklid uzayında bir M yüzeyinin, E4 Öklid uzayının bir hiperdüzleminin içindeki bir çembersel silindirin açık bir parçası olması için gerek ve yeter koşulun M yüzeyinin sıfırlı 2-tipinden olması ve normalleştirilmiş ortalama eğrilik vektörünün paralel olması gerektiği gösterilmiştir. Ortalama eğrilik doğrultusunun paralel olmaması durumunda da E4 Öklid uzayında bir M yüzeyinin bir helikal silindirin açık bir parçası olması için gerek ve yeter şartın M yüzeyinin sıfırlı 2-tipinden ve sabit ortalama eğriliğine sahip olması gerektiği ispatlanmıştır.

In this study, the classification of null 2-type surfaces of Euclidean space E3 and E4 is studied. Null 2-type submanifolds of Em are constructed by the eigenfunctions of the Laplacian induced on M with exactly two eigenvalues 0 and λ (is different from 0). For the classification of null 2-type surface of E3 it is proved that a surface M of E3 is of null 2-type if and only if M is an open portion of a circular cylinder. For surfaces of E4, null 2-type surfaces are investigated according to the mean curvature vector is parallel or not. It is shown that a surface M in E4 is an open portion of a circular cylinder in a hyperplane of E4 if and only if M is a null 2-type surface with parallel normalized mean curvature vector. In the case, the mean curvature direction is not parallel. It is proved that a surface in E4 is an open portion of a helical cylinder if and only if M is of null 2-type and M has constant mean curvature.