Yerçekimi Akımlarının Lie Grup Analizi Kullanılarak İncelenmesi

Abstract

Yoğunlukları birbirinden farklı iki akışkandan birinin diğerinin içine doğru yerçekiminin etkisiyle akması ile oluşan ve bazen yoğunluk akımları diye de adlandırılan yerçekimi akımları, bir çok doğal ve insan yapımı durumda ortaya çıkmaktadır. Yerçekimi akımlarındaki yoğunluk farkı, ısıl etkiler ya da maddenin erimesi nedeniyle oluşabilir. Literatürde sabit hacimli bir sıvı tarafından üretilen yerçekimi akımlarıyla ilgili çalışmalara bakıldığında kullanılan en genel yaklaşımın boyut analiz yaklaşımı olduğu görülür. Boyut analizi, sığ su denklemlerinin benzerlik analizinde kullanılan tek yöntemdir ve tek bir benzerlik değişkenin elde edilmesini mümkün kılmaktadır. Literatürdeki mevcut tüm çalışmalarda benzerlik değişkeni formunda ele alınmıştır. Burada sayısal bir sabittir. Benzerlik değişkeninin bu formu boyut analizi yaklaşımından gelmektedir ve bize orijinal diferansiyel denklem sisteminin sadece tek bir özel formda olan indirgenmiş yapısını elde etmemize imkan vermektedir. Lie grup teorisi, çalışma içerisinde “Boyut Analizinin” bir genelleştirilmesi olarak başlıca temel yöntem olarak ele alınmıştır. Bu çalışma içerisinde mevcut tanımı ve kapsamı verilen problem Lie grup analizi kapsamında literatürde ilk defa incelenmiştir. Bu yeni yaklaşım, mevcut ve benzeri problemlerin incelenmesinde boyut analizine alternatif olarak, Lie grupları teorisinin çok daha genel ve trivial olmayan benzerlik yapıları ve benzerlik çözümlerinin elde edilebilmesinde kullanılabileceğini göstermektedir. Bu tezde değişken akımlı yerçekimi akımlarının benzerlik çözümleri Lie grup analizi altında incelenmiştir.

Gravity currents, (sometimes called density currents or buoyancy currents), which consist of fluid of one density flowing under the influence of gravity into fluid of another density, occur in many natural and man-made situations. The density difference in gravity currents can be caused by thermal effects or as the result of dissolved material. In the literature, dimensional analysis is the most common method for the gravity currents which are occured by the fixed volume fluids. All of the studies in the current literature are related to the self-similarity analysis of the shallow-water related problems based on the dimensional analysis.In fact, the dimensional analysis enables to find only one particular type of similarity variable. The similarity variable in all related studies is usually considered in the form of where is a numerical constant. This form of the similarity variable is resulting from the dimensional analysis method and it enables to obtain only one specific type of reduced form of the original governing equation. Lie group theory will be used as a fundamental approach for the solution of the problem, which is the generalization of the dimensional analysis. The Lie group analysis was presented as an alternative approach to the dimensional analysis for investigating similar problems in fluid mechanics and this approach presents the opportunity to obtain more general and nontrivial similarity forms and similarity solutions for the problem. In this thesis, the similarity solutions of gravity currents with variable inflows were investigated under the Lie goup analysis.