Schwarzian türevlerine dayalı yeni kenar algılama yöntemleri ve MBB kenar süzgecinin geliştirilmesi

Abstract

Schwarzian türevleri, bir fonksiyonun ikinci ve üçüncü türevleri arasındaki bağıntıları değerlendirerek, o fonksiyonun geometrik yapısını daha kapsamlı biçimde analiz etmeye olanak tanır. Bu özellikleri sayesinde Schwarzian türevleri, özellikle analitik fonksiyonların yapısal davranışlarını incelemede etkili bir matematiksel araç olarak öne çıkmaktadır. Bu tezde, hem ilk aşama olan kenar algılama yönteminde hem de ikinci aşama olan MBB kenar süzgecinde temel yapıtaşı olarak Schwarzian türevleri kullanılmıştır. Bu türev yönteminin kullanılabilmesi için Ön-Schwarzian türevinin tanımlanması gereklidir. Ön-Schwarzian türevi, fonksiyonun diferansiyel yapısına dair temel özellikleri ortaya koyarak, Schwarzian türevine geçişte teorik bir ara basamak olarak işlev görmektedir. Ayrıca bu türev türü konformal haritalama, diferansiyel geometri ve dinamik sistemler gibi çeşitli matematiksel disiplinlerde geniş bir uygulama alanına sahiptir. Çalışmanın ilk basamağı olan Schwarzian Türevleri ile Geliştirilmiş Kenar Algılama Yönteminde geliştirilen yöntem, yeni bir bakış açısı kazandırması açısından önemlidir. İlk aşamada, giriş görüntüsü gri tonlamaya dönüştürülüp Otsu yöntemiyle ikili forma getirilmiştir. Bu aşamada, Frobenius normu ile normalize edilen Ön-Schwarzian ve ikinci mertebeden Schwarzian türev operatörleri, kenar yoğunluğu hesaplamalarının temel bileşenleri olarak kullanılmıştır. Önerilen yapıya Sobel, Prewitt ve Canny gradyanlarının entegrasyonu ile Schwarzian-Sobel, Schwarzian-Prewitt ve Schwarzian-Canny isimli üç farklı varyasyon geliştirilmiştir. Bu yöntemler, yönel gradyan gücü ile geometrik duyarlılığı birleştirerek düşük kontrastlı bölgelerde dahi kararlı ve keskin kenar tespiti sağlamaktadır. Değerlendirme çalışmasında, önerilen Schwarzian tabanlı yöntemler klasik kenar algılama teknikleriyle karşılaştırılmıştır. Yapılan deneylerde, özellikle düşük kontrastlı ve ayrıntılı bölgelerde Schwarzian destekli algoritmaların daha keskin ve kararlı kenar haritaları ürettiği gözlemlenmiştir. SSIM metriği açısından en yüksek skorları Schwarzian-Sobel yöntemi elde etmiş; bu yöntem, yapısal benzerlik ve görsel kalite açısından klasik yaklaşımlara kıyasla üstün performans sergilemiştir. Bu tez çalışmasının ikinci basamağı olan MBB kenar süzgeci yöntemi de Schwarzian türevlerine dayanmaktadır. Yöntemde, log-harmonik dönüşümle elde edilen iki farklı fonksiyonun Schwarzian ve Ön-Schwarzian türevleri kullanılarak, görüntüdeki yapısal bozulmalar piksel bazında analiz edilmiştir. Yapılan hesaplamalar sonucunda, log-harmonik dönüşümün türevleri aracılığıyla elde edilen bilgiler, bozulma ölçütü ve kompleks düzlemde tanımlı türev operatörleriyle zenginleştirilmiş yeni bir kenar haritalama yaklaşımı geliştirilmiştir. Ayrıca, dönüşüm sonrası oluşabilecek kenar kayıplarını gidermek ve doğruluk düzeyini artırmak amacıyla diferansiyel karakteristiğe sahip Simon kenar fonksiyonu ile kenar yoğunluğu güçlendirilmiştir. Bu bütünleşik yapı, geleneksel yöntemlerin sınırlılıklarını aşan, ölçek ve kontrast değişimlerine karşı daha tutarlı sonuçlar sunan çevik bir çözüm önermektedir. Schwarzian tabanlı kenar algılama yöntemleri, özellikle düşük kontrastlı ve karmaşık sahnelerde klasik filtrelere kıyasla daha kararlı ve belirgin kenar haritaları üretmiştir. Ayrıca, önerilen MBB kenar süzgeci gerek görsel kalite gerekse CPU (Central Processing Unit) süresi bakımından Canny gibi yöntemlere kıyasla anlamlı ölçüde daha iyi performans göstermiştir. Tüm testler, sabit maske yapısına dayalı klasik yöntemlerle karşılaştırmalı olarak yürütülmüştür. Bu tez kapsamında önerilen iki farklı yaklaşım, Schwarzian türevlerine dayalı yenilikçi kenar algılama çözümleri sunmaktadır. İlk yöntem, klasik filtreleme yaklaşımlarında sıkça karşılaşılan yumuşatma ve gürültüye duyarsızlık gibi sorunları azaltarak yüksek frekanslı detayların korunmasını sağlamaktadır. İkinci yöntem olan MBB kenar süzgeci ise log-harmonik eşleştirmeye dayalı, kompleks düzlemde çalışan ve sabit maske kullanımını ortadan kaldıran esnek bir yapı sunar. Düşük kontrastlı sahnelerde daha net kenarlar elde edilmesini sağlamakta, aynı zamanda CPU süresi bakımından da Canny gibi yöntemlere kıyasla anlamlı bir avantaj sunmaktadır. Her iki yaklaşım da çok ölçekli, yapısal duyarlı ve enerji verimli yapısıyla görüntü işleme uygulamalarında geniş bir potansiyele sahiptir. Özellikle tıbbi görüntüleme alanında MRI (Manyetik Rezonans Görüntüleme - Magnetic Resonance Imaging), CT (Bilgisayarlı Tomografi - Computed Tomography) ve X-ray gibi cihazlara entegre edilerek gerçek zamanlı sistemlerle uyumlu çalışabilmekte ve farklı disiplinlerde etkili çözümler sunabilmektedir.