Dış Problemler İçin Sınır İntegral Denklemleri Ve Bunların Çözümleri İçin İteratif Yöntemler

Abstract

Dış bölgelerde Helmholtz denklemi ile tanımlanan eliptik sınır değer problemleri, akustik ve elektromanyetik dalga yayılması olaylarında ortaya çıkarlar. Bu problemlerde, Helmholtz denkleminin, saçıcı cisimler üzerinde tanımlanmış ya Dirichlet veya Neumann sınır koşulu altında çözümleri bulunmak istenir. Burada k, dalga sayısı, homojen bir ortamda sabittir. Bu problemlerde sonsuz ayrı bir sınır olarak düşünülür ve problemin iyi tanımlanmış olması için sonsuzda bir koşulun belirtilmesi gerekir. Bu, olarak ifade edilen Sommerfeld radyasyon koşuludur. Burada r seçilmiş olan bir orijinden itibaren olan uzaklıktır ve zamana bağlılık, frekans olmak üzere, olarak seçilmiştir. Dış problemleri çözmek için geliştirilen yöntemlerden biri sınır integral denklemi yaklaşımıdır. Bilindiği gibi, k, karşı gelen iç problemin bir özdeğeri ile çakıştığında, bir dış problem için türetilen integral denklemin çözümü tek olarak bulunamaz. Bu sorun orijinal problemden değil, çözümün gösteriliminden kaynaklanmaktadır. Bu güçlüğün üstesinden gelebilmek için genel olarak modifiye Green fonksiyonu teknikleri olarak adlandırılan teknikler geliştirilmiş ve bunlarla çözümleri tek olan sınır integral denklemleri türetilmiştir. Tek olarak çözülebilen bu integral denklemler iteratif olarak çözülebilirler. Bu çalışmada Kleinman-Roach iterasyonu incelenmiş ve yorumlanmıştır. Daha sonra da bundan daha hızlı yakınsayan bir iterasyon şeması önerilmiştir.

Eliptic boundary value problems governed by the Helmholtz equation in exterior regions arise in acoustics and electromagnetics. Here one wishes to solve the Helmholtz equation with either Dirichlet or Neumann boundary condition specified on the bodies, where k, the wave number, is a constant for a homogeneous media. In these problems, infinity can be regarded as a separate boundary and a condition at infinity is required to make the exterior problem well defined. This is the Sommerfeld radiation condition expressed as where r is the distance from a fixed origin. One of the methods for the solution of an exterior problem is the boundary integral equation approach. The integral equation approach has an important deficiency. It is well known the integral equation is found to be non-unique when k coincides with an eigenvalue of the corresponding interior problem. The trouble occurs, not because the original problem fails to have a unique solution, but an account of the representation used for the field. Various methods have been introduced to overcome this difficulty. Using modified Green’s functions new boundary integral equations have been devised and these are known to be uniquely solvable. These uniquely solvable boundary integral equaitions can be solved iteravitely. In this work, Kleinman-Roach iteration method is examined and expounded. Then a new iteration scheme having faster convergence rate than the previous iteration scheme is introduced.