Sönümlü-Değiştirilmiş Korteweg-de Vries (KdV) Denkleminin Analitik ve Hesaplamalı Çözüm Karşılaştırılması

Abstract

Bu çalışmada akışkanlar mekaniği ve optikte karşılaşılan sönümlü-değiştirilmiş Korteweg-de Vries (KdV) denkleminin (dissipative modified KdV) ilerleyen dalga tipindeki çözümlerinin hesaplamalı bir yöntemle değerlendirilmesi yapılmıştır. Bu amaçla Demiray tarafından analitik olarak elde edilen ilerleyen dalga çözümleri kullanılmıştır. Sönümlü-değiştirilmiş KdV denkleminin hesaplamalı çözümü zaman basamaklamayı 4. derece Runge-Kutta, mekansal türevleri ise Fourier tayfı yöntemileriyle hesaplayan bir şemayla elde edilmiştir. Karşılaştırmaların neticesinde Demiray tarafından verilen analitik çözümlerin hesaplamalı çözümlerle tutarlı olduğu görülmüştür. Ayrıca analitik çözümde yerel çözüm arama ve kare-integrallenebilirlik şartı nedeniyle gözlenmeyen ancak hesaplamalı çözümde özellikle zaman ilerledikçe dağılımlı bir kuyruk (dispersive tail) oluştuğu gözlenmiştir.

In this study an assessment of the propagating wave type analytical solution of the dissipative (perturbed) modified Korteweg-de Vries (KdV) equation, which has been encountered in fluid mechanics and optics, is performed by a computational method. For this purpose, propagating wave solutions derived analytically by Demiray are used. For the numerical solution of the dissipative modified KdV equation, a scheme with 4th order Runge-Kutta method for time stepping and the Fourier spectral method for evaluating the spatial derivatives is used. As a conclusion of the comparisons it has been validated that analytical solution derived by Demiray is consistent with computational results. Additionally in the computational observations it has been observed that a dispersive tail is developed especially for long times which is not observed in analytical solutions due to the local wave seeking and square integrability condition.