Vortex-induced oscillations of an elastically mounted circular cylinder

Abstract

Bu çalışmada, uniform bir akış alam içinde yer alan elastik bağlı, iki boyutlu dairesel bir silindirin, ardında oluşan vortekslerce indüklenen salınımları sayısal olarak incelenmiş, senkronizasyon olayı, farklı yapısal parametreler için, Re =200' de değişik yönleriyle ortaya konmuştur. Küt cisimler, bir akım alanına yerleştirildiklerinde yüzeylerinin büyük bir bölümü üzerinde ayrılmalı akışın meydana geldiği yapılar olarak tanımlanırlar [1]. Belirli bir Reynolds sayısının (Re«40) üstündeki akımlarda, sınır tabakalar cismin alt ve üst yüzeylerinden aralarında belirli bir faz farkı ile ayrılırlar ve sonuçta cismin iz bölgesinde Karman Vorteks Caddesi olarak anılan yapı oluşur [2]. Bu alterne vorteks oluşumu cisme etkiyen kuvvetlerin de periodik bir karakterde olmasına yol açar. Cismin elastik bağlı olması durumunda ise, bu kuvvetler sonucu, yapısal sönümlemeye bağlı olarak, akımın indüklediği titreşimler meydana gelebilir. Elastik bağlı cisimlerde, vorteks oluşum frekansı cismin doğal frekansına yeteri kadar yakın olduğunda, cisim salınımları vorteks oluşumunu etkiler ve kontrol altına alır. Bu durumda, vorteks oluşum ve cismin salınım frekansları doğal frekansa yalan bir değerde birleşirler ve cisim akımdan aldığı enerji ile yüksek genlikli salınanlar yapmaya başlar. Bu olay kilitlenme, senkronizasyon gibi değişik adlar alır. Aslında aerodinamik kuvvetlerle yapısal titreşimlerin lineer olmayan karşılıklı etkileşimini ele alan değişik inceleme alanları mevcuttur [3], Ancak bu çalışmada sadece vortekslerin indüklediği salınımlar konusu üzerinde durulacak ve kilitlenme olayı değişik karakteristikleri ile incelenecektir. Vortekslerin indüklediği salınımlar birçok mühendislik dalının ilgi alanına girer. Tahrip edici özellikleri bulunduğundan ötürü sıklıkla inceleme konusu olmuşlardır. Olayın, yüksek binaların, asma köprülerin, kule ve bacaların, enerji iletim hatlarının, ısı değiştiricilerinin ve bunlar gibi daha birçok yapının veya elemanın dizaynında dikkate alınması gerekir [6,7]. Bu konudaki en ünlü ve çarpıcı örneği, Tacoma Boğazı Köprüsünün 7 Kasım 1940 tarihinde yıkılışı oluşturur. Köprünün tamamlanışından yaklaşık dört ay sonra, şiddetli yan rüzgar sonucu vorteks oluşumu yapıda rezonansa yol açmış ve titreşimlerin genliği normal yol seviyesinin 9 metre üstüne kadar ulaşmıştır [7]. Tahrip unsuru dışında, vorteks oluşumunun indüklediği titreşimlerin istenmeyen düzeylerde gürültüye sebep olmaları konuya duyulan ilgiyi arttırmaktadır [4]. Literatürde, vortekslerin indüklediği salınanları araştıran çalışmalar daha çok deneyseldir. Ayrıca, gerek deneysel gerek sayısal incelemelerde, genellikle cismin zorlanmış titreşimleri ele alınmaktadır. Buradaki çalışmada ise elastik bağlı bir cismin serbest titreşimi ele alınmış ve vortekslerin indükledikleri salınımların özellikleri ve bu özellikleri etkileyen parametrelerin belirlenmesi amaçlanmıştır. Yapılan sayısal çalışmada, cisim olarak, iki boyutlu dairesel bir silindir seçilmiştir. Öncelikle, bu silindirin sabit olduğu durum için sayısal metod test edilmiş, sonuçlar daha önce bulunmuş deneysel ve sayısal değerlerle karşılaştırılmıştır. Bunu takiben beş değişik yapısal parametre grubu için silindirin salınımı, taşıma ve sürükleme katsayıları, akımdan aldığı güç ve kümülatif enerji zaman içinde incelenmiştir. Parametrelerin seçimi sırasında sonuçların benzer diğer çalışmalarla karşılaştırılabilir olması göz önüne alınmış bazı deneysel ve sayısal çalışmaların verileri esas alınmıştır [3,10,16,23]. Kilitlenme olayı ve karakteristikleri dışında, ek kütle ve akışkan sönümlemesi değerleri de araştırıldığından, hesaplamalarda, elastik bağlı silindir için iki değişik durum söz konusu olmuştur : uniform akım altında titreşim ve durgun ortamda denge konumundan saparak titreşim. Baz alınan Hücre -İçinde -Vorteks adlı sayısal yöntemle, iki boyutlu Navier -Stokes denklemlerinden çapraz türevlerin alınıp, basınçla ilgili terimlerin yok edilmesi ile elde edilen Çevrinin Taşınımı denklemi ^=!*> + (£.V) = 4£ - 4^ (5) dx dy ve akım fonksiyonu 3T ÖT m = u -ZA- = - v (o) dy dx tanımlarından süreklilik denkleminin sonucu olarak V2,F = -6> (7) şeklinde elde edilir. Ancak bu denklem düzlemler arası değişmez bir büyüklük olan sirkülasyon (T) cinsinden ele alınmakta V2Y = -^ (8) A ve çözümü Çabuk Fourier Dönüşümü ile bulunmaktadır. Bu yöntemle, akım fonksiyonunun her bir ağ noktasındaki değeri belirlendikten sonra, difüzyon denklemi ikinci mertebeden sonlu farklar yöntemi ile çözülür. Çevrinin katı cidarda kaymama sınır şartım sağlar şekilde oluştuğu düşünülür [29] ve sınır şartı olarak yüzeydeki sirkülasyon akım fonksiyonu kullanılarak lUo-^f-^-AÇ (9) şeklinde ifade edilir [31]. (i,0) cisim yüzeyini ve (i,l) yüzeye komşu ağ noktalarım temsil eder. Dış sınır için ise T=0 şartı geçerlidir. Difüzyona uğrayan çevrinin ağ noktalarından ayrık vortekslere dağıtılması, Poisson denklemi çözülmeden önce ağ noktalarının sirkülasyon değerlerinin ayrık vortekslerden hesaplanması ve taşınımın ağ noktalarındaki hız değerlerinden bulunması için Hücre-İçinde-Vorteks yöntemi kullanılır. Burada herbir vorteksin sirkülasyon değerinin, hücre içinde bulunduğu pozisyona göre interpolasyonla hücre köşelerine dağıtılması söz konusudur. Hücre içindeki vortekslerin taşınım hızlarının bulunmasında da aynı interpolasyon tekniği kullanılır ve Poisson denkleminin çözümü ile akım fonksiyonunun mrevlerinin alınması sonucu elde edilen ağ noktası hızlarına uygulanır. Bu yöntemin tercih edilmesinin sebebi, Bio-Savart indüksiyon yönteminde N sayıda vorteks için N2 işlem gerekirken, Hücre-İçinde-Vorteks yönteminde M sayıda ağ noktası için M.Log2 M işlem gerekmesidir [7]. Bu, akım alam geliştikçe artan sayıdaki noktasal vorteks için çözüm zamanı açısından Hücre-İçinde-Vorteks yönteminin avantajım ortaya koymaktadır. Çalışmada, taşıma ve sürükleme katsayıları dolayısı ile cisme etkiyen kuvvet bileşenleri basınç integrasyonu ve yüzey sürtünmesi kullanılarak hesaplanmaktadır. Silindirin titreşimi, zamana bağlı sınır şartlarını bertaraf etmek açısından silindire bağlı hareketli eksen takımında incelenmektedir. Bu eksen takımı değişimi Taşınım denklemini ve silindire gelen kuvvetleri etkiler. Taşınım denkleminde (3) silindire göre hız değerlerine, silindirin mutlak eksendeki hızının eklenmesi, silindire gelen kuvvetlerde de dinamik eşdeğerliliğin sağlanması gerekir. Bu nedenle, silindirin ivmesi ile silindir tarafından yeri değiştirilen akışkan kütlesinin çarpımından oluşan kaldırma kuvveti göreceli eksen takımında bulunan kuvvete eklenmektedir [8,32]. Silindirin hidrodinamik kuvvetlerce indüklenen salınmalarını hesaplamak için, elastik bağlı silindirin lineer olarak sönümlendiği göz önüne alınırsa hareket denklemi atalet kuvvetlerim de içerecek şekilde my+cy+ky = Fy + p Vy (10) olarak yazılabilir. Burada m cismin kütlesini, c sönüm ve k yay sabitlerini, V cismin hacmini, p akışkanın yoğunluğunu ve F^ anlık hidrodinamik kuvveti göstermektedir. Çalışmada bu denklemin boyutsuzlaştırılması ile elde edilen (11) ifadesi Runge-Kutta yöntemi ile çözülmekte ve parametre olarak akışkanın yoğunluğunun silindirin yoğunluğuna oram (p/ps), yapısal sönümleme katsayısı (£ J ve silindirin boyutsuzlaştırılmış doğal frekansı (fn.D/U) kullanılmaktadır. Sonuçlar, kilitlenme aralığım, vorteks oluşum ve silindirin titreşim frekanslarının bu bölgede nasıl silindirin doğal frekansı ile çakıştığım açıkça XLV göstermektedir. Ancak, silindirin akışkana göre yoğunluğu ve yapısal sönümleme katsayısı arttıkça titreşimlerin rejime girişini gözlemek zorlaşmış, incelemeler imkanlar ölçüsünde 100 boyutsuz zamana, yani, silindirin durağan akışkan içinde çapının 100 katı bir yol almasına yetecek bir zamana kadar sürdürebilmiştir. Silindir salınım genliğinin maksimum değerinin indirgenmiş hıza, Vr=U/(fn.D), bağlı çizimlerinde, genliğin kilitlenme aralığının başında ani bir yükseliş gösterdiği görülmüştür. Bu sonuç önceki çalışmalarla da uyum içindedir, ancak deneysel incelemelere göre kilitlenme daha düşük indirgenmiş hızlarda oluşmaktadır. Ancak farklılığın, karşılaştırmalarda aynı Reynolds sayısının geçerli olmayışından kaynaklandığı düşünülmektedir. Bu çalışma kapsamında yapılan tüm incelemelerde, Reynolds sayısı için akımın halen laminer olduğu 200 değeri benimsenmiştir. Deneysel sonuçlara uygun olarak, kilitlenme aralığı başlangıcında, sürükleme katsayısının ortalama ve çalkantı değerlerinde artış olmaktadır. Taşıma katsayısı ise kilitlenme aralığına girmeden artmakta, içinde ise azalarak bir minimum değerden geçmekte ve kilitlenmenin sonunda öncesindeki değerine ulaşmaktadır. Çalışmada vortekslerin indüklediği salınımların iz bölgesi yapısına ve vorteks oluşumuna etkileri de araştırılmıştır. Titreşim grafikleri, kilitlenme aralığına girişte ve çıkışta, silindirin hareketi ile taşıma kuvveti arasındaki faz farkında 180 derecelik bir değişim olduğunu göstermektedir. Bu fark hesaplanan iz yapılarında da gözlenmektedir. Silindir maksimum konumunda iken, kilitlenme aralığının girişinde silindirin alt yüzeyindeki vorteks kümesi koparken, kilitlenme aralığının çıkışında silindirin üst yüzeyindeki vorteks kümesi kopmaktadır. Bu gözlemler çeşitli deneysel araştırmalarla uyum içindedir.

This study consists of the numerical solution of vortex- induced oscillations of a circular cylinder and investigates various characteristics such as drag, lift and cylinder oscillation amplitude especially within the lock- in region. A discrete vortex method incorporating viscous diffusion is presented for two-dimensional laminar flow of a uniform stream past a transversely oscillating cylinder. The governing equations are transformed to an accelerating frame of reference that is fixed relative to the cylinder and a spring- mass- damper system is used to evaluate the cylinder vibration. Five sets of structural parameters have been used in the computations, relating to previous experimental and numerical investigations. The results reveal correctly the lock- in phenomenon which occurs when the frequencies of vortex shedding and the cylinder oscillation are captured by the structural natural frequency. Several experimentally observed characteristics such as drag and lift amplification, as well as a reverse phase relation of cylinder displacement with vortex shedding between the ends of lock -in region are numerically predicted. The dependence of the maximum oscillation amplitude, lift and drag coefficients on structural mass and damping are calculated and compared with previous numerical studies and a fair agreement is found.