Bir Ve İki Parametreli Kendine Eş Operatör Fonksiyonlar İçin Riesz Bazı Ve Özdeğer Problemleri

Abstract

Bu çalışmada bir ve iki parametreli kendine eş operatör fonsksiyonların bazı sınıfları için Riesz bazı ve özdeğer problemleri ele alınmıştır. İki parametreli sınırsız dalga tipi operatör polinomların spektral yapısı incelenmiştir. Bir parametrenin sabit tutulması durumunda spektrumun ayrık olması ile ilgili teoremler ispatlanmıştır. Kök bölgelerinin bazı kısımlarında reel özdeğerler için varyasyon ilkeleri verilmiştir. İkinci derece dalga tipi operatör polinomlar için spektrumu içeren bölgeler tanımlanmıştır. Dalga tipi operatör polinomların tanımındaki koşullar fiziksel problemlerden doğal olarak ortaya çıkar ve herbirinin fiziksel bir anlamı vardır. Özel olarak enerji stabilite koşulu ile katsayılar için bir pertürbasyon problemi arasında bir bağlantı verilmiştir. Ayrıca, bir ve iki parametreli dalga tipi operatör polinomlardan ortaya çıkan bir operatör fonksiyonlar sınıfı için sayısal bölge ve kök bölgelerinin yapısı incelenmiştir. Bu tür operatör fonksiyonlar için genel bir model oluşturuyoruz. Bu model çerçevesinde kök bölgelerinin bazı kısımlarında köklerin ve özdeğerlerin dağılımıyla ilgili teoremler ispatlanmıştır. Genelde sayısal bölgenin ve kök bölgelerinin bağlantılı olmadığı gösterilmiş ve kök bölgelerinin bazı bağlantılı parçaları belirlenmiştir. Çok parametreli dalga tipi operatör polinomların çoğu tarafından sağlanan bazı ek koşullar altında kök bölgelerinin ayrık olmadığı, yani üst üste bindiği ispatlanmıştır. Son olarak, kendine eş ve sürekli operatör fonksiyonların bir sınıfı için Riesz bazı özellikleri incelenmiştir. Burada spektral dağılım fonksiyonuna dayanan yeni bir yaklaşım kullanılmıştır.

In this study, Riesz basis and eigenvalue problems for some classes of one and two parameter operator pencils is considered. The spectral structure of two parameter unbounded operator pencils of waveguide type is studied. Theorems on the discretness of the spectrum for a fixed parameter are proved. Variational principles for real eigenvalues in some parts of the root zones are established. For quadratic operator pencils of waveguide type domains containing the spectrum are described. Conditions in the definitions of the pencils of waveguide type arise naturally from physical problems and each of them has a physical meaning. In particular a connection between energetic stability condition and a perturbation problem for the coefficients is given. Also, the structure of the numerical range and root zones of a class of operator functions arising from one and two parameter pencils of waveguide type is studied. We constuct a general model of such kind of operator pencils. In frame of this model Theorems on distribution of roots and eigenvalues in some parts of root zones are proved. It is shown that, in general the numerical range and root zones are not connected but some connected parts of root zones are determined. It is proved that root zones, under some natural additional conditions which are satisfied for most of waveguide type multi-parameter spectral problems, are non-separated, i.e. they overlap. Finally, Riesz basis properties for a class of self-adjoint and continuous operator functions are studied. A new approach based on the spectral distribution function is presented.