Nanoteknolojide eğri eksenli çubukların düzlem dışı davranışları için bir sonlu eleman formülasyonu

Abstract

Nano boyuttaki malzemelerin, gelişmiş fiziksel, kimyasal ve elektriksel özelliklere sahip olduğunun farkedilmesiyle daha üstün özelliklere sahip nano boyutta yapıların üretilmesi, günümüzde nanoteknolojiyi ilgi odağı haline getirmektedir. Kuvvet ve yerdeğiştirme ilişkileri kullanılarak, nano boyuttaki sistemlerin fonksiyonel ve elastik karakteristiklerini inceleyen nanomekanik, nanoteknolojinin en önemli çalışma alanlarından biridir. Nano ölçekteki cihaz ve makinalarda yaygın olarak kullanılan yapı elemanlarından biri nanoçubuklardır. Bu çubuk elemanların mekanik davranışlarının tam olarak bilinmesi, nano boyuttaki makinaların geliştirilmesi için önemlidir. Nanoçubukların modellenmesinde, klasik elastisite teorisi yerine, yerel olmayan elastisite teorisi kullanılmaktadır. Klasik elastisite teorisinin tanımının boyuttan bağımsız olması nedeniyle, mikro yapılarla birlikte nano yapıların davranışlarının incelenmesinde sorunlar ortaya çıkmaktadır. Boyutlar küçülmeye başladıkça, malzeme içindeki boşlukların etkisi, cismin boyutları yanında ihmal edilemez seviyeye gelmektedir. Bu durumda, moleküller arasındaki boşluklar önem kazanmakta ve klasik elastisite teorisi ile elde edilen sonuçlar gerçekten uzaklaşmaktadır. Bu nedenle, mikro/nano boyutlardaki yapılarda boyut etkisini göz önünde bulunduran yerel olmayan elastisite teorisi kullanılmaktadır. Ayrıca, yerel olmayan elastisite teorisinin üstünlüğü, sadece nano malzemelerin statik, dinamik ve burkulma davranışları üzerinde boyut etkisini göz önüne alması değil, diğer yöntemlerle karşılaştırıldığında analizlere uygulanmasının da kolay ve ucuz olmasıdır. Bu çalışmada, yerel olmayan elastisite teorisi ile eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik davranışlarını ifade eden ve kayma deformasyonu ile eğilme ve burulma dönme eylemsizliklerini de göz önüne alan denklemlerin kesin analitik çözümüne dayanan bir sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Eğri eksenli düzlemsel çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemlerin çözümünde kesin analitik çözümden elde edilen değerler, şekil değiştirme büyüklükleri olarak kullanılmakta, rijitlik ve kütle matrisleri oluşturulmaktadır. Geliştirilen formülasyonun sonuçları, literatürdeki statik örneklerle karşılaştırılmıştır. Birinci bölümde, nanoteknolojinin önemine ve nanoyapıların tasarım yaklaşımlarına değinilmiştir. Ayrıca, yapılan çalışmanın literatürdeki mevcut çalışmalardan hangi nitelikler bakımından farklı ve üstün olduğu da vurgulanmıştır. İkinci bölümde, nanoçubukların statik ve dinamik problemlerinin incelenmesi konusunda yapılan çalışmalar verilmiştir. Yapılan literatür taramasında, genellikle yerel elastisite teorisi kullanılarak yapılan çalışmalar yer alırken, yerel olmayan elastisite teorisi kullanılarak yapılan az sayıda çalışma bulunmaktadır. Bu çalışmaların çoğunda eğilme etkisi, kayma deformasyonu, eksenel ve kesme kuvvetleri gibi bir veya birkaç etki göz ardı edilmiştir. Ayrıca, bu konudaki çalışmaların çok azında eğri eksenli nanoçubuklar ele alınmıştır. Düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem dışı davranışlarının incelendiği çalışma ise yok denecek kadar azdır. Literatürde, nanoçubuklar için sonlu eleman formülasyonu ile ilgili çok az sayıda çalışma mevcuttur. Bunların da neredeyse tamamı doğru eksenli çubuklarla ilgilidir. Bu çalışmalarda, yer değiştirmeler için çeşitli yaklaşık fonksiyonların kullanıldığı görülmüştür. Üçüncü bölümde, Eringen tarafından sunulan yerel olmayan elastisite teorisinin bünye denklemleri, silindirik koordinatlarda yazılarak klasik çubuk teorisine uygulanmış ve değişken eğrilik yarıçapına ve değişken kesit alanına sahip çubuklar için elde edilmiş denklemler verilmiştir. Çubuk kesitinin çift simetrik olduğu varsayılmakta, böylece, düzlem içi ve düzlem dışı davranışı ifade eden büyüklükler ayrı denklemlerde bulunmaktadır. Denklemlerde, kuvvet ve momentlerin yerel olmayan etkileri dikkate alınmıştır. Başlangıç değerleri yöntemi kullanılarak, düzlemsel eğri eksenli çubukların düzlem dışı statik davranışlarını ifade eden denklemlerin kesin analitik çözümü verilmiştir. Dördüncü bölümde, değişken eğrilik ve değişken kesit kabulü yapılarak düzlemsel eğri eksenli çubuğun, düzlem dışı statik ve dinamik davranışlarını ifade eden, yerel olmayan elastisite teorisi ve tüm yerel olmayan etkilerin dahil edilmesi ile elde edilen denklemlerin kesin analitik çözümleri kullanılmış, sonlu eleman formülasyonu yapılmıştır. Düzlem dışı statik problemler için sonlu eleman formülasyonunda rijitlik matrisi oluşturulmuştur. Elemana ait rijitlik matrisi elde edilmiş ve birleştirilerek global rijitlik matrisi oluşturulmuştur. Düzlem dışı titreşim problemleri için sonlu eleman formülasyonunda rijitlik matrisinin yanı sıra kütle matrisine de ihtiyaç duyulmaktadır. Bu bölümde, elemana ait kütle matrisi elde edilmiş ve birleştirilerek global kütle matrisi oluşturulmuştur. Ayrıca, Hamilton prensibi kullanılarak da rijitlik ve kütle matrisleri elde edilmiştir. Beşinci bölümde, eğri eksenli nano çubukların düzlem dışı statik ve dinamik problemleri için geliştirilen sonlu eleman yöntemi ile çeşitli örneklerin çözümlerine yer verilmiştir. Hesaplamalarda, kayma deformasyonu ile eğilme ve burulma dönme eylemsizlik etkileri dahil edilmiştir. Elde edilen sonuçlar analitik çalışmalar ile karşılaştırılmıştır. Altıncı bölümde, bu çalışmada elde edilen sonuçlar ve sonuç bölümü tartışılmıştır.