Dynamics of single-link flexible manipulators under a cycloid angular function

Abstract

Bu çalışma, verilen bir sikloid yol alma fonksiyonuna göre hareket eden serbest ucu kütleli bir kiriş elemanın, seçilecek özel toplam hareket zamanı değerleri için, eğilme titreşimlerinin hareket sonunda minimum hale getirilebileceğinin mümkün olduğunu göstermeyi hedeflemektedir. Bu amaçla bir Euler-Bernoulli kirişi olarak modellenen örnek manipülatör sisteminin, mevzubahis yol alma fonksiyonu altında cevabı incelenmiştir. Hesaplanan özel zaman değerleriyle yapılan analizlerde, hareket sonunda kalıcı titreşim genliğinin ihmal edilebilecek kadar küçük olduğu gösterilmiştir. Serbest uca bağlı kütlenin tekil yük etkisi gösterdiği düşünülmüş ve yerçekimi kuvvetlerinin etkileri ihmal edilmiştir. Esnek kiriş üzerindeki herhangi bir noktanın global eksen takımına göre toplam yerdeğiştirmesi, küçük açısal yer değiştirmeler kabulü ile, aşağıdaki gibi yazılabilir. v(x,t)=y(x,t) + x8(t) (1) Burada, 9(t) kirişin dönme açısı, y(x,t) ise yerel eksendeki eğilme titreşimlerini betimlemektedir. Kiriş elemanın uç kütle bulunan uç noktası için üstteki ifadeye benzer olarak, v(L,t) = y(L,t) + L9(t) (2) şeklinde yazılabilecektir. En genel halde sistemin kinetik enerji ifadesi elde edilen yerdeğiştirme formulasyonlan aracılığıyla aşağıdaki gibi oluşturulabilir. T(t) = ^ JpA(x)(y2 +x292 +2xy9)dx + |M(y2L +L292 +2xyL0) (3) Bu ifade kiriş elemanının ve uçtaki kütlenin etkilerini içermektedir. Sistemin potansiyel enerjisi, Euler-Bernoulli kirişi olması itibarıyla, V(t) = ljEI(x)y"2dx (4) şeklinde verilebilir. Tüm bu elde edilen ifadeler yardımıyla, Hamilton Prensibi kullanılarak genel hareket denklemlerini oluşturmak mümkündür. Prensip uyarınca, }[5T(t)-8V(t) + 5Wnc(t)]dt = 0 (5) h olacaktır. Burada Wnc ile konservatif olmayan kuvvetler kastedilmiş olup, seçilen sistemde dışardan etkiyen bir kuvvet olmadığı için, Wnc = 0 (6) olacaktır. (3) ve (4) denklemleri (5)'te yerine konup, varyasyonel işlemleri ve kısmi integrasyon metodlan kullanılarak, aşağıdaki denklemler elde edilir. [EI(x)y* '] '+pA(x)(y + xÖ) = 0 (7) Buna ek olarak sınır şartlan da, y(0,t) = y'(0,t) = 0 (8) y*'(L,t) = 0 (9) [EI(x)y"IU-MyL=ML9 (10) şeklindedir. Elde edilen denklemlerin ışığında sistemin serbest titreşim karakteristiklerini elde etmek için, y(x,t) = f>k(x)qk(t) (11) k=t kabulü yapılabilir. Bu formulasyon, eğilme titreşimlerinin çözümünü özfonksiyonlar ve genelleştirilmiş koordinatlar cinsinden ifade etmektedir. (11) denklemi kullanılarak serbest titreşim problemi için denklemler aşağıdaki gibi oluşturulabilir. [EI(x)(pt"]"=^pA(x)(pk(x) (12) kt + ^^Sİna)kt-EI(0)({)3k"(0)Dk(t) (20) eok cök şeklinde olacaktır. Burada Dt(t), Dk(t) = j9(£)Sin[(Dk(t-£)]d£ (21) o şeklindedir. 9(t) açısal yol alma fonksiyonu, çalışmada sikloid değişimli bir fonksiyon olarak seçilmiştir. e = Aef -- - Sinmt] (22) u 2* } Bu ifadede Wp, frekans, A9 alman toplam açısal yoldur. Aynca tp tüm hareket boyunca geçen zamanı betimlemektedir. Frekans ile tp arasında, top = - (23) bağıntısı bulunmaktadır. Açısal hız ve ivme terimleri, (22) ifadesinin zamana göre türetilmesiyle bulunabilir. A9 e(t) = - (l-cos

End-point transverse vibration histories of single-link flexible manipulators under a cycloid angular motion are examined for pinned-mass systems. General dynamic equations of the systems are derived via Hamilton's Principle. Then using modal expansion method and Lagrange equations, elastic deformation equations of the system are solved. Solutions are given for a beam having symmetric variable distribution along its neutral axis and a cross-section with double symmetry. The link elements are considered as an Euler-Bernoulli beam. Also, gravitational effects are not included in each analysis. The goal of the study is to find optimum total movement time values which will let the system result with minumum oscillations at the end of transient movement. It is shown that these time values can be found from a simple relation of the first natural frequency to forcing frequency. Using these values, solution related with the first natural frequency results with loss of vibration. The first natural frequency plays the dominant role in these kinds of systems. Solutions depending on the upper frequencies are very small compared to the first one. So the remaining oscillations at the end of the disturbance are very small, even negligible. This lets the system have a high positioning accuracy. Simulations depending on the general solutions are done via mode superposition for a homogenous beam with rectangular cross-section. Then the analysis are repeated by using Ansys 5.0 finite element program in order to compare the results. By using finite element techniques, it is possible to study with greater number of modes. So this gives a flexibility of examining the results much more better. Finite element solutions of tapered beams are also considered. Satisfactory solutions arte obtained for each analysis.