Lineer operatör denklemler için temel çözüm ve uygulamaları

Abstract

Bu çalışmada lineer operatör denklemler için temel çözüm kavramı incelendi. Birinci bölümde genel formda verilmiş olan operatör denklem için temel çözüm ve genelleştirilmiş temel çözüm kavramları tanımlandı. Bu çözümlerin varlığı için gerekli koşullar elde edildi. Sağ düzenleyiciye operatöre sahip olan Fredholm tipli bir problem sınıfı için temel ve genelleştirilmiş temel çözümler incelendi. İkinci bölümde birinci bölümde verilmiş metoda uygun olarak bir problem ele alındı. Bu problem için eş problem tanımlandı. Bu eş problem bir integro-cebirsel denklem sistemi olara elde edildi. Cebirsel denklemler çözülüp integral denklemde yerleştirildiğinde bir ikinci çeşit integral denklem elde edildi. Bu integral denklemin çözülebilme koşulları incelenerek Green ya da genelleştirilmiş Green fonksiyoneli elde edileceği gösterildi. Daha sonra başlangıç ve sınır değer problemleri ele alınarak bunlar için eş sistem oluşturuldu. Bu eş sistemlerin özel halde klasik yöntemler ile Cauchy ve Green fonksiyonlarının oluşturulması problemlerine denk olduğu gösterildi.

In this study, the fundamental solution for linear operator equations cencept is examined. In the first part, fundamental soution and generalized fundamental solution concepts for solutions of operator equations given in general form are defined. The conditions for the existence of these solutions are obtained. For a Fredholm type problem class with right regulator operator, fundamental and generalized fundamental solutions are examined. In the second part, a problem is dealt with according to the method given in the first part. The adjoint problem is defined for this problem. The adjoint problem is obtained as a system of integro-algebraic equations. Once the algebraic equations are solved and replaced in the integral equation, a second type of integral equation is obtained. By examining the solvability conditions, it is shown that Green and generalized Green functionals can be obtained. Later, the initial and boundary conditions are handled and an adjoint system for these are generated. It is shown that these are equaivalent to the problems of obtaining Cauchy and Green functionals in special cases with classical methods.