Silindirik Olarak Ayrıştırılabilen Sabit-mıknatıslı Yapılarda Poısson Denkleminin Çözümlenmesi İçin Bir Fourıer Serisi Yaklaşımı

Abstract

Bu tezde, silindirik olarak ayrıştırılabilen sabit mıknatıslı yapıların manyetik analizine olanak sağlayan Poisson denkleminin çözümü için Fourier serisi yaklaşımı kullanılarak yeni bir yöntem geliştirilmiştir. Bütün problem alanı içerisindeki homojen ve homojen olmayan problemlerin çözümlenmesi için süperpozisyon prensibi uygulanarak bir lineer denklem sistemi elde edilmiştir. Çember, halka ve kutup arkı şeklindeki yarıçap ve paralel yönde mıknatıslanmış mıknatısların yüzey akım yoğunluğu formülleri Fourier serisi kullanılarak elde edilmiştir. Mıknatıs bölgeleri içerisindeki düzgün mıknatıslanmadan kaynaklanan kaynak teriminin homojen çözümü etkilemediği görülmüştür. Silindirik koordinatlarda Laplace denklemini sağlayan vektör potansiyeli için homojen çözüm değişkenlerine ayırma tekniği kullanılarak elde edilmiştir. Bu yeni yöntem temelinde; yapı bölgesi çember, halka ve kutup arkı olarak farklı silindirik simetrik geometrilere ayrılmıştır. Bu alt bölgelerin sınırlarında, sınır koşulları eşitlikleri bu alt bölgeler arasındaki manyetik bağıntı aracılığıyla elde edilmiştir. Tüm eşitlikler manyetik vektör potansiyeli ifadesi ve sınır koşulu eşitlikleri birleştirilerek elde edilmiştir. Büyük seyrek matrislerin hızlı hesaplanması için MATLAB tabanlı bir program geliştirilmiştir. Sunulan yöntem ile elde edilen tüm sonuçlar, harmonik mertebesinin artırılması ile Sonlu Elemanlar Yöntemi yaklaşımından elde edilen sonuçlara yakınsamıştır. Sunulan yöntemin silindirik olarak ayrıştırılabilen sabit mıknatıslı yapılar içerisindeki manyetik alanı ifade eden iki-boyutlu Poisson denkleminin çözümü için etkin bir yaklaşım olduğu kanıtlanmıştır.

In this study, a new method for the solution of Poisson’s equation that enables magnetic analysis of cylindrically decomposable permanent-magnet structures is developed using Fourier series approximation. A set of linear equations for the solution of homogenous and non-homogenous problems within the whole problem domain are obtained by applying the superposition principle. Formulations for the surface current density for circle-, ring- and arc-shaped geometries, and radial and parallel magnetization of magnets are obtained using Fourier series. It is shown that the source term due to uniform magnetization within magnet regions does not contribute to the non-homogenous solution. Homogenous solution to vector potential that satisfies Laplace’s equation in cylindrical coordinates is obtained by using the separation of variables technique. Based on this new method, the region of the magnetic structure is divided into different cylindrically symmetric geometries; such as circles, rings or pole arcs. At the boundaries of these sub-regions, the equations for boundary conditions are obtained by the magnetic relationship between these sub-regions. All equations are obtained by combining the expression of the magnetic vector potential and boundary conditions. A MATLAB-based program is developed for fast computation of the large sparse matrices. All the results which are obtained by the presented method are achieved convergence to Finite Element Method results with increasing number of harmonic orders. It has been proven that the presented method is an effective approach for solving two-dimensional Poisson’s equation that constitutes magnetic field within cylindrically decomposable permanent magnet structures.