3 Boyutlu Yüzeylerin Toplam En Küçük Kareler Yöntemi İle Eşleştirilmesi

Abstract

Bu çalışmada 3 boyutlu yüzeylerin birleştilmesi ele alınmış ve buna yönelik bir matematiksel model önerilmiştir. Birleştirme işlemi için yaygın olarak kullanılan ICP (Yinelemeli En Yakın Nokta) ve türevlerinde genellikle kapalı form çözümler uygulanmaktadır. Bu tür çözümler hesaplanan parametrelerin güvenilirliği ve doğruluğu hakkında istatistik bilgi içermemektedirler. Diğer bir önemli birleştirme algoritması En Küçük Kareler yöntemi ile 3 Boyutlu yüzey eşleştirmesidir. Oluşturulan gözlem denklemleri ile hedef ve arama yüzeyleri arasında fonksiyonel ilişki kurulur. En Küçük Kareler yöntemine göre parametre kestirimi yönteminde arama verisinin stokastik özellikleri gözardı edilir. Bu durumun sonuç vektörünü etkilemeyeceği düşünülmektedir. Ancak oluşan belirsizlik kestirim sonrası elde eldilen kovaryans matrisinde etkisini gösterecek ve gerçekçi olmayan parametre kestirim doğruluklarının ortaya çıkmasına neden olacaktır. Daha gerçekçi sonuçlar elde edilebilmesi için, hedef verisi ile birlikte arama verisinin de stokastik özelliklerini gözönünde bulunduran bir çözüm yöntemi uygulanmalıdır. Bu tez çalışmasında, hatalı değişkenler (errors-in-variables) olarak ifade edilebilecek modele uygun bir çözüm yöntemi kullanılarak yüzey birleştirilmesi önerilmektedir Bu çalışmada 3 boyutlu yüzeylerin birleştirilmesi için önerilen yöntemin matematiksel modeli lineer olmayan modifiye edilmiş Gauss-Helmert yöntemidir. Yöntemin önemli bir avantajı Lagrange çarpanlarının normal denklemlerden elimine edilmiş olmasıdır. Modelde iki veri seti arasındaki ilişki 6 parametreli benzerlik dönüşümü ile sağlanmakta ve noktalar arasındaki Mahalonobis uzaklıkları minimize edilmektedir. Fonksiyonel model lineer olmadığı için sistem bilinmeyenler ve gözlem denklemlerine göre kısmi türevler alınarak lineerleştirilir. Lineer olmayan denklem sisteminin çözümü için iyi seçilmiş başlangıç yaklaşık değerlerine ihtiyaç duyulmaktadır. Aksi takdirde fonksiyonun yerel minimuma yakınsama riski ortaya çıkmaktadır.

Co-registration of point clouds of partially scanned objects is the first step of the 3D modeling workflow. The aim of co-registration is to merge the overlapping point clouds by estimating the spatial transformation parameters. In computer vision and photogrammetry domain one of the most popular methods is the ICP (Iterative Closest Point) algorithm and its variants. ICP and other variants of it generally use closed-form solution techniques. These types of solution techniques do not give statistical quality measures of the estimated parameters. The mathematical model of the applied method is based on the non-linear Gauss-Helmert Model. In the model, Lagrange Multipliers are eliminated and thus it is called Modified Gauss-Helmert by Kanatani. From this aspect, it is very appropriate solution method for large data sets. The geometrical relation between data sets is established by rigid body transformation. Objective of the model is to estimate the optimal transformation parameters of rigid-body transformation by minimizing the Mahalonobis distance in the sense of Maximum Likelihood. The stochastic properties of search surface elements are taken into account in MGH model, whilst this is ignored in the classical Gauss-Markov model. On the other hand, if the covariance matrices are defined as isotropic and homogeneous for both template and search surfaces, the MGH model gives almost the same results with the Gauss-Markov model. Therefore, we define anistropic and inhomogeneous covariance matrix for both data sets individually and compare the results with the Least Squares method.