Genelleştirilmiş Elastik Bir Ortamda Kuple Yüksek Mertebe Nonlineer Schrödinger Denklemleri

Abstract

Bu çalışmada, genelleştirilmiş elastik bir ortamda yayılan enine dalgaların nonlineer modülasyonu problemi, hemen hemen tek dalga sayılı dalga çözümlerinin çok ölçekli açılımı kullanılarak incelenmiştir. Öncelikle yüksek-mertebe nonlineer ve dispersif etkileri evolüsyon denklemlerinde içermek için, yüksek-mertebe pertürbasyon denklemleri ele alınmış, ve iki enine dalganın değişiminin bir çift kuple yüksek-mertebe nonlineer Schrödinger (YMNLS) denklemleri ile verildiği gösterilmiştir. Enine dalgalardan birinin olmaması durumunda, kuple YMNLS denklemlerinin daha önce nonlineer optikte elde edilen tek YMNLS denklemine indirgendiği bulunmuştur. Ayrıca, kuple NLS denklemlerindeki nonlineer terimlerin katsayısını sıfır yapan, marjinal durum denen kritik bir dalga sayısı civarında aynı ortamda yayılan iki enine dalganın nonlineer değişimi problemi ele alınmıştır. Kuple evolüsyon denklemlerinde dispersif etkileri dengelemek amacı ile daha yüksek-mertebe nonlineer terimleri içermek için, açılımlardaki nonlineerliğin etkisi arttırılmıştır. Marjinal durum civarında aynı ortamda yayılan iki enine dalganın nonlineer değişiminin genelleştirilmiş nonlineer Schrödinger (GNLS) denklemleri denen kuple evolüsyon denklemleri ile verildiği gösterilmiştir. Ayrıca, enine dalgalardan birinin olmaması durumunda, kuple GNLS denklemlerinin, Benjamin-Feir kararsızlığı olarak adlandırılan k=1.363 kritik dalga sayısı civarında su dalgalarının hareketini karakterize eden tek GNLS denkleminin formuna indirgendiği gösterilmiştir.

In this study, the nonlinear modulation of transverse waves propagating in a generalized elastic solid is studied using a multi-scale expansion of quasi-monochromatic wave solutions. In particular, to include the higher-order nonlinear and dispersive effects in the evolution equations, higher-order perturbation equations are considered, and it is shown that the modulation of two transverse waves is governed by a pair of the coupled higher-order nonlinear Schrödinger (HONLS) equations. It is found that the coupled HONLS equations reduce to the single HONLS equation which has already been obtained in the context of nonlinear optics, in the absence of one of the transverse waves. Moreover, the problem of nonlinear wave modulation of two transverse waves propagating in the same medium is considered near a critical wave number, called the marginal state, for which the coefficients of the nonlinear terms in the coupled NLS equations are zero. In order to include higher order nonlinear terms in the coupled evolution equations to balance the effect of dispersion, the effect of nonlinearity is intensified in the expansions. It is shown that the modulation of two transverse waves near the marginal state is governed by a pair of the coupled evolution equations called the generalized nonlinear Schrödinger (GNLS) equations. It is found that the coupled GNLS equations reduce to the same form of the single GNLS equation which has already been obtained to describe the behavior of water waves about the critical wave number, k=1.363, called Benjamin-Feir instability, in the absence of one of the transverse waves.