Kiriş Ve Levhaların İzogeometrik Analiz Yaklaşımıyla Statik Ve Dinamik Davranışlarının İncelenmesi

Abstract

Bu tez çalışmasında, izogeometrik analiz teorisinin kiriş ve levhalarla ilgili yapısal problemler üzerine uygulamaları incelenmiştir. İzogeometrik teorinin temel amacı, geometrik tanım için kullanılan fonksiyonların, aynı zamanda analizin şekil (dağılım, yaklaşım, test, deneme) fonksiyonları olarak kullanarak, bilgisayar destekli tasarım (BDT) ile sonlu elemanlar analizini (SEA) tek bir çatı altında toplamaktır. Bir mühendislik sürecine bakıldığında, tasarım ve analizin iki önemli aşamayı oluşturduğu açıktır. Tasarım, oluşturulmak istenen sistemin geometrik bilgisinin oluşturulduğu ve geometrinin detaylı bir şekilde temsil edilip sunulduğu aşamayı oluştururken, analiz kısmı yapının iç ve dış yükler altında göstereceği ilgili kritik tepkilerin olayın doğasına giderek matematiksel modelleme ile ön görülmesini sağlayan aşamadır. Fakat, tipik bir mühendislik sürecinde bu kadar önem arz eden iki aşama uzun yıllardır birbirinden ayrı durmaktaydı. Tasarım aşamasından sonra analize geçildiğinde geometri tekrar tanımlanıp, ağ yapısı oluşturma işlemi yapılması gereklidir. Sonlu elemanlar analizi mevcut geometriye, Lagrange polinomları gibi tanımlanması ve hesaplanması basit, düşük mertebeli fonksiyonlar ile yakınsamaya çalışırken, bilgisayar destekli dizayn, gelişen teknoloji ile beraber arzu edilen geometriyi yüksek mertebeli (Bézier eğrileri, B-spline veya uniform olmayan B-spline eğrileri (NURBS)) eğriler ile tanımlar. Dolayısıyla tasarım aşamasından sonra analize geçildiğinde geometri tekrar tanımlanıp, ağ yapısı oluşturma işlemleri klasik SEA yaklaşımının muhtemel olarak ortaya çıkarabileceği bir takım yakınsama, hassasiyet ve benzeri hataları azaltmak için son yıllarda yüksek doğruluklu geometrik tanımlama ile ilgili yapılan çalışmalar hızla artmış ve çeşitli yeni yaklaşımlar araştırmacılar tarafından ortaya konmuştur. Bu çalışmada da, BDT ve SEA aşamalarını tek bir çatı altında toplayarak, NURBS tabanlı izogeometrik teori tanıtılmış ve bu iki farklı yapının (BDT ve SEA) nasıl bir araya getirildiği, geliştirilen izogeometrik kodların bir bilgisayar destekli dizayn programı ile ilişkilendirerek gösterilmiştir. Bu kapsamda, izogeometrik analizin temellerinden bahsetmeden önce, ilk olarak Bézier, B-spline ve NURBS eğrilerinin matematiksel temelleri, birbirleriyle olan ilişkileri ve sahip oldukları özellikler ayrıntılı bir şekilde tanıtılmış ve böylelikle klasik sonlu eleman şekil fonksiyonları ve ağ yapısı oluşturma konularında farklı ve benzer olan özellikleri ortaya konmuştur. Daha sonra, izogeometrik analiz için fazlasıyla önem taşıyan ağ yapısı modifikasyonlarından bahsedilmiş, klasik SEA ağ modifikasyonlarından farkları ve benzerlikleri ortaya konmuştur. Sonrasında, bu eğrilerin analizin şekil fonksiyonları olarak nasıl kullanıldığından bahsedilmiştir. İzogeometrik analiz ile BDT yardımıyla oluşturulan geometrinin direk sistemin analizi için de kullanılması sağlanır ve bu durumda klasik SEM yaklaşımında yer alan geometriyi düşük mertebeli fonksiyonlarla tanımlamaya (yakınsamaya) çalışma ve sonrasında gerekli olan ağ yapısı oluşturma işlemleri de ortadan kalkmış olur. Bu durumda mevcut zaman kayıplarının önüne geçilmesini sağlar. Tez kapsamında analizlerin şekil fonksiyonları olarak NURBS eğrileri kullanılmıştır. İzogeometrik teori, sonlu elemanlar literatüründe fazlasıyla popüler olan izoparametrik sonlu elemanlar yaklaşımını temel alır. Nümerik yöntem olarak Galerkin yöntemi seçilmiştir. Galerkin yöntemi sonlu elemanlar analizi literatüründe de sıklıkla karşılaşılabilen bir nümerik çözüm yöntemidir (Galerkin Finite Element). Bu yöntem de ilk olarak incelenen problemin matematik modeli diferansiyel formda (strong form) elde edilir ve daha sonrasında problemin varyasyonel formu (variational or weak form) tanımlanır. Sonrasında, bu form içerisinde ağırlık (weight) ve deneme (test) fonksiyonları tanımlanarak lineer denklem sistemi ve bu sistemin matris formu (katılık matrisi, yük ve yer değiştirme vektörleri) elde edilir. Ağırlık ve deneme fonksiyonları NURBS eğrileri ile tanımlanır. SEM yaklaşımında yer alan, ağ yapısı tanımlayan düğüm noktalarının (nodes) yerini, izogemetrik analizde, eğrilerin tanımlanmasını sağlayan kontrol noktaları (control points) alır. Analizde dikkate alınması gereken fiziksel, parametrik ve doğal koordinatları barındıran üç farklı tanım bölgesi vardır. NURBS şekil fonksiyonları parametrik uzayda tanımlanıp ve değerleri hesaplanırken, mevcut fiziksel uzaydaki tanım kontrol noktaları ile sağlanır. Parametrik uzaydaki değerler elde edilebildiği için integrasyon bu uzayda gerçekleştirilir ve dönüşüm matrisi (Jacobian) yardımıyla fiziksel uzaydaki değerler elde edilir. Sayısal integrasyon ise doğal koordinatları barındıran eşlenik uzayda gerçekleştirilir, bunun için de yine ayrı bir dönüşüm matrisi daha tanımlanır. Sayısal örnek kısmında ise dört farklı yapısal probleme; kiriş basit eğilmesi, kiriş modal analizi, levha eğilmesi ve levha modal analizi problemlerine yer verilmiştir. İlgili sayısal örneklerin izogeometrik analiz formülasyonları ve çözüm için izlenen yol, katılık ve kütle matrislerinin, yük vektörlerinin nasıl edildiği anlatılmıştır. Kiriş problemleri için Euler-Bernoulli kiriş modeli seçilirken levha problemleri için klasik plak teorisi (Kircchoff plak teorisi) göz önünde bulundurularak problemler çözülmüştür. Problemlerde ele alınan geometriler ticari bir BDT programı olan Rhinoceros 5 ile oluşturulmuştur, programın kendi bünyesinde barındırdığı komutlarla ağ modifikasyonunu yapma olanağına sahiptir. İzogeometrik analiz kodları ise Matlab R2012b programı yardımıyla oluşturulmuştur. Gerekli bütün temel kodların algoritmaları Piegl ve Tiller (1997) ve Rogers (2001) kaynaklarında bulunmaktadır. Ayrıca, yine Rhinoceros 5 içerisinde oluşturulan altprogramlarla, oluşturulan geometrilerin bilgileri dış ortama alınıp, Matlab yardımıyla oluşturulan izogeometrik analiz kodları ile ilişkilendirilmiştir. Böylece, bir BDT programıyla hazırlanan kodların birlikte aynı ortamda çalışmaları sağlanmıştır. Analizler farklı NURBS yapıları için tekrar edilmiş ve sonuçlar hem kendi aralarında hem de analitik ve SEM sonuçlarıyla karşılaştırılmıştır. Verilen sonuçlarla bu yöntemin geçerliliği, standart SEM yaklaşımına göre güçlü yanları ortaya konmaya çalışılmıştır. Her şeyden önce yöntem BDT ve SEM çalışma ortamlarını bir araya getirerek daha integre bir yapı sunmaktadır. Nihai sonuçlar göstermektedir ki izogeometrik analiz yakınsama ve hassasiyet konusunda üstün özelliklere sahiptir. Bunun da en önemli sebebi yüksek mertebeden eğrilerin analizin şekil fonksiyonları olarak atanmasıdır. Seyrek olarak oluşturulmuş ağ yapılarında bile doğru sonuca çok yakın sonuçlar verdiği karşılaştırmalarla ortaya konmuştur. Fonksiyonların mertebelerini arttırarak düşük serbestlik dereceleri ve dolayısıyla düşük yoğunluklu ağ yapısı elde ederek, işlem hacminin küçültülmesine de olanak sağlamaktadır.

Isogeometric analysis (IGA) is introduced and applied structural problems relate with beams and plates in this thesis framework. The main idea of isogeometric analysis is to combine Computer Aided Design (CAD) and Finite Element Analysis (FEA) tools and join them in a single tool because design (CAD) and analysis (FEA) stages are crucial for engineering processes and both of them have used different basis for many years. While classic FEA tries to approximate actual geometry using low-order and simply defined basis functions, IGA uses geometric definition defined exactly by CAD tools. Thus, geometry creates analysis in IGA and basis functions employed for both CAD and FEA are same. In this thesis, non-uniform rational B-spline (NURBS) is chosen for analysis basis because NURBS is quite common geometric tool in CAD technology due to its distinguishable flexibility and precision about creating curves and surfaces. Before getting into details of IGA, theory of NURBS and its antecedents; Bézier curves and B-splines is introduced and some examples are illustrated. Then, the theory of IGA is explained using Galerkin's method as numerical method. Actually, isoparametric finite element method which is very well known approach in FEA literature is invoked also in IGA. Actual geometry has its place in pyhsical domain and integration over elements should be performed in this domain. However, basis functions and their derivatives can be calculated in parametric domain and this makes necessary to define mapping from parametric domain to physical domain. On the other hand, another mapping should be defined for numerical integration on parent domain. As numerical method, Galerkin's approach is chosen and its steps and outputs are showed. In order to implement Galerkin's method, weak (variational) form of the problem is defined and then algebraic equations are obtained defining weight and test functions. IGA formulations are explained for four different problems; bending of beams, free vibration analysis of beams, plate bending and free vibration analysis of beam, IGA formulations are explained. And these problems are also used for numerical examples. IGA is performed with different NURBS structures and compared with analytic and FEA solutions.