Gaz Dinamiği Denklemlerinin Eno Weno Şemaları İle Etkin Çözümü

Abstract

Sonlu fark ve sonlu hacim şemaları, polinom benzeri basit fonksiyonlar kullanarak ayrıklaştırılmış verilerin interpolasyonuna dayanır. Çok iyi bilindiği gibi daha yüksek mertebeden doğruluk olması için genellikle, daha geniş bir hesaplama molekül interpolasyonuna gerek vardır. Geleneksel sonlu fark metotları sabit hesaplama molekülü interpolasyonuna dayanır. Bu yöntem, problemin düzgün olduğu noktalarda gayet iyi çalışır. Fakat ikinci veya daha yüksek mertebeden doğruluğa sahip sabit hesaplama moleküllü interpolasyonlar bir süreksizlik civarında sallanırlar. ENO (Essentially Non-Oscillatory) şeması, verilen bir zamanda, çözümün hücre ortalamalarından yüksek doğruluklu bilgiler sağlayan bir yaklaşım prosedürüdür. Bu prosedür düzgün bölgelerde yüksek hassasiyetli ve süreksizlik civarında salınım yapmayan bir akı hesabına olanak verir. ENO şemasında temel düşünce hesaplama molekülünün süreksizlik içeren hücreyi içermemesidir. ENO aday hesaplama moleküllerinin Newton Bölünmüş farklarını karşılaştırarak en uygun (süreksizliği içermeyen) hesaplama molekülünü seçer. Daha sonra hücres sınırındaki değerler bu hesaplama molekülü kullanılarak hesaplanır. Ağırlıklı (Weighted) ENO, (WENO) şemasında ise aday hesaplama moleküllerinden bir tanesini kullanmak yerine, bunların konveks bir kombinasyonu kullanılır. Bu çalışmada Euler denklemleri ENO ve WENO şemaları kullanılarak değişik uygulamalar için çözülmüştür.

Finite difference and finite volume schemes are based on interpolations of discrete data using polinomials. It is well known that higher the order of accuracy of the interpolation requires the wider the stencil. Traditional finite difference methods are based on fixed stencil interpolations. This procedure works well for globally smooth problems. However, fixed stencil interpolation of second or higher order accuracy oscillates near a discontinuity. High-order accuracy is obtained, wherever the solution is smooth, by an Essentially Non-Oscillatory (ENO). ENO is an approximation procedure which yields high-order pointwise information from the cell avarages of the solution at a given time. This procedure enables a flux computation that is high order accurate in smooth regions and avoids oscillations near discontinuities. The basic idea is to avoid including the discontinuous cell in the stencil, if possible. ENO compares the Newton divided difference of all candidate stencils and choose the smoothest stencil (ie, doesn’t include discontinuity). Then the values at the cell boundary are computed using this stencil.The Weighted ENO (WENO) scheme uses a convex combination of all candidate stencils instead of using only one of them. In this study some gas dynamics applications of Euler equation has been solved by using ENO and WENO schemes.