Asal İdealleri Tarafından Kapalı Polinom Halkaları

Abstract

R birimli değişmeli bir halka ve I R’nin bir ideali olsun. Eğer I, R’nin herhangi bir asal idealler kümesinin her elemanı ile aralarında asal ise ve I söz konusu asal idealler kümesinin birleşimi tarafından kapsanmıyorsa, o zaman I idealine, R’nin asal idealler tarafından kapalıdır denir. Eğer R’nin her ideali R’nin asal idealleri tarafından kapalı ise o zaman R’ye asal idealleri tarafından kapalı bir halka denir. Bir R Noetherian halkası üzerinde R[x] polinom halkasının asal idealler tarafından kapalı olması durumunda R’nin sonlu sayıda asal ideallere sahip olması gerekmektedir. Şayet R bir Dedekind tamlık bölgesi ise, o zaman R[x]’ in asal idealler tarafından kapalı olması için gerek ve yeter koşul R’nin semilocal temel ideal bölgesi olmasıdır. R’nin asal idealler tarafından kapalı olması her zaman R üzerindeki polinom halkası R[x]’in de aynı özelliği göstermesi gerekmediğini R = Z ( Z tam sayılar halkası olmak üzere) olması durumunda göstermektedir. Çünkü Z temel ideal bölgesi ve her temel ideal bölgesi asal idealleri tarafından kapalıdır ancak Z[x] asal idealleri tarafından kapalı değildir. Bu çalışmada R Noetherian ve sonlu sayıda maksimal ideale sahip olmadığı durumlarda R[x] polinom halkasının asal idealleri tarafından kapalı olduğu durumlar incelenmiştir. R, asal idealleri tarafından kapalı, Krull boyutu bir olan tam kapalı bir tamlık bölgesi olsun. O zaman R üzerinde R[x] polinom halkasının monik bir polinom içeren Q* asal ideali ile bölümünden elde edilen R[x] / Q* bölüm halkasının da asal idealleri tarafından kapalı olduğu gösterilmiştir. Bunun dışında R üzerindeki çeşitli polinom halka genişlemelerinin asal idealleri tarafından kapalı olma özellikleri de incelenmiştir.

An ideal I of a commutative ring R with identity is said to be coprimely packed by prime ideals of R if whenever I is coprime to each element of a family of prime ideals of R, I is not contained in the union of prime ideals of the family. We say that R is coprimely packed if every ideal of R is coprimely packed. It is prove that if a polynomial ring R[x] over a Noetherian ring R is coprimly packed, then R has only finitely many prime ideals and that over a Dedekind domain R, R[x] is coprimely packed if and only if R is a semilocal principal ideal domain. If R is coprimely packed then it does not follow that the polynomial ring extension R[x] of R is coprimely packed (e.g. if R is the ring of integers Z, then Z being a principal ideal domain is coprimely packed but Z[x] is not coprimely packed). The quest we pursue here is that what form of a polynomial ring extension is coprimely packed when the underlying ring R is, in the case R may have infinitely many maximal ideals and may not be Noetherian. In Chapter 5 we show that if R is a coprimely packed integrally closed domain of Krull dimension one and Q* is a prime ideal of R[x] containing a monic polynomial then R[x] / Q* contains R as a subring and it is coprimely packed. We then investigate the other forms of polynomial ring extentions which inherits the coprimely packedness property from that of R.