Eğrisel ve değişken kesitli çubuklarda özel rijitlik matrisinin elektronik tablolar ile hesabı

Abstract

Yirminci yüz yılın ikinci yarısından itibaren yapı tasarımında özellikli parçalar ile kompleks sistemlerin fazlaca kullanılmaya başlanmasıyla beraber yapı analizi alanında ciddi gelişmeler yaşanmıştır. Bu gelişmeler sırasında bilgisayar programcılığının da ilerlemesiyle beraber yapı analizi çözümünde sonlu elemanlar metodu ile matris deplasman metodu çalışmalarında ciddi ilerlemeler kaydedilmiştir. Yapı analizi çözüm yöntemlerinden olan yer değiştirme metodunun bilgisayar programcılığına uyarlanabilmesi matris yöntem ile gerçekleştirilmiştir.. Yer değiştirme yöntemi ile çözümde uç kuvvetler ve uç yer değiştirmeler için bağıntıların bulunması gerekmektedir. Bu bağıntılar elastisite teorisine dayanarak elde edilmektedir. Bu bağıntıların bulunması ayrıca sistemin veya çubuğun kesit özelliklerine ve mesnetlenme şekline bağlıdır. Doğru eksenli değişken en kesit özelliklerine sahip olan bir çubuk için bu bağıntıları sayısal integrasyon ile bulunmaktadır. Sayısal integrasyon sonucu elde edilen katsayılar için tablolar oluşturulmaktadır. Bu çalışmada, uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan özel doğru eksenli düzlem çubuklar ile parabol eksenli çubukların eleman rijitlik matrislerinin elde edilmesi amacıyla sayısal bir yöntem verilmiştir. Verilen sayısal yöntemler, eleman rijitlik matrisleri excel ortamında hesaplanacak şekilde programlanmıştır. Uçlarında kesim veya elastik birleşim bulunan çubuklar ile çubuk katarlarının özel rijitlik matrisleri matris deplasman yöntemi ile, özel parabolik çubukların rijitlik matrisleri ise kuvvet yöntemi ile elde edilmiştir. Uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan doğru eksenli prizmatik veya değişken kesitli çubukların özel rijitlik matrislerinin elde edilmesi amacıyla önce çubuğun her iki ucunda üçer adet olmak üzere toplam 6 adet yeni yerdeğiştirme bileşeni tanımlanmış ve 12 serbestlikli özel elemana ait rijitlik matrisi tanımlanmıştır. Daha sonra 6 adet ek bilinmeyene ait geometrik uygunluk koşulları yeni bilinmeyenlere ait alt matrisi üzerinde yapılan bir operasyon ile tanımlanmış ve yeni bilinmeyenler alt matris eleme tekniği ile elenerek 6x6 boyutundaki uçlarında kesimler veya elastik birleşimler bulunan doğru eksenli çubukların özel eleman rijitlik matrisleri sayısal olarak elde edilmiştir. Söz konusu algoritma excel tablosu haline getirilerek çeşitli örnekler çözülmüş, SAP2000 programı ile elde edilen özel çubuk rijitlik matrisleri ile karşılaştırılmıştır. Parabolik çubuklarda ise, mesnetlerinde veya ara bölgesinde mafsal veya elastik birleşim bulunan özel çubukların rijitlik matrisleri kuvvet yöntemi ile elde edilmiştir. Bu amaçla önce mesnetler mafsallı mesnet olacak şekilde izostatik esas sistem seçilerek özel çubuğa ait birim kuvvet matrisi elde edilmiş, daha sonra ikinci dereceden hiperstatik sistem birim mesnet çökmeleri için çözülerek hiperstatik bilinmeyenler elde edilmiştir. Birim dönmelerden meydana gelen yerdeğiştirme sabitleri olan söz konusu hiperstatik bilinmeyenlerden, süperpozisyon denklemleri kullanılarak diğer birim yerdeğiştirme sabitlerine geçilmiştir. Dönmeye karşı elastik mesnet veya elastik birleşimli parabolik çubuklarda ise benzer işlemler birleşimin bulunduğu noktadaki momentin de kaldırılması sureti ile seçilen üçüncü dereceden hiperstatik sistem üzerinde gerçekleştirilmiştir. Hesapta, dönmeye karşı elastik birleşimin işi de dikkate alınmış ve yöntem excel altında çalışan bir Visual Basic yazılımı haline getirilmiştir. Yöntemin birden çok sayıda çubuktan oluşan çubuk katarlarına da uygulanabilmesi için, önce yukarıda anlatılan yönteme göre ucunda kesim bulunan çubuğa ait özel rijitlik matrisi bulunmakta, daha sonra matris deplasman yöntemi ile çubuk katarına ait sistem rijitlik matrisi kurularak ara düğüm noktalarına ait bilinmeyenler alt matris eleme tekniği ile elenerek, 6x6 boyutundaki çubuk katarına ait özel rijitlik matrisi elde edilmektedir. Bu sayısal işlemler de yine hazırlanan excel tabloları yardımı ile yapılabilmektedir. Uçlarında veya ara noktalarında kesimler bulunan çubuklar için verilen yöntem benzer şekilde yüzeysel taşıyıcı sistem elemanlarına da uygulanabilir. Örneğin herhangi bir kenarında mafsal bulunan bir dörtgen plak elemana ait özel eleman rijitlik matrisi, dört düğüm noktasında düğüm noktası bilinmeyenlere eşit sayıda ek yerdeğiştirme bileşeni tanımlanarak ve yukarıda çubuklar için verilen algoritma benzer şekilde uygulanarak özel eleman rijitlik matrislerine geçilebilir.