Weyl Uzaylarında Bazı Özel Eğri Şebekeleri

Abstract

Bu çalışmada, bir Weyl uzayının bir hiperyüzeyi üzerindeki bazı özel eğri şebekeleri göz önüne alınmış ve bu şebekelerin birinci cins Chebyshev şebekesi, geodezik şebeke ve metriksel Chebyshev şebekesi olma koşullan araştırılmıştır. Dört bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde, Weyl uzaylarına ait bazı temel tanım ve teoremlere yer verilmiştir. ikinci bölümde, Wn+ı(gabıTc) Weyl uzayının Wn(gij,Tk) hiperyüzeyinin eğrilik çizgileri ve asimptotikleri tanımlanmış, eğrilik çizgileri ve asimptotik- lerin oluşturduğu şebekelerin bir Chebyshev şebekesi ve geodezik şebeke mey¬ dana getirme şartları araştırılmış ve bunlara ait sonuçlar birer teorem olarak ifade edilmiştir. Üçüncü bölümde, önce bir kontravaryant vektör alanının tendansı ve di- verjansı tanımlanmış ve bu vektör alanının diverjansının, bu vektör alanının n-li dikgen bir şebekenin vektörleri doğrultusundaki tendansları toplamına eşit olduğu gösterilmiştir. Daha sonra, Wn hiperyüzeyi üzerinde tanımlan¬ mış teğetsel olmayan va vektör alanının Wn:deki (v-v,...,u) şebekesine ait eğrilerin transversali olma koşullan elde edilmiştir. Ayrıca, Wn'ye ait bir C eğrisinin teğetsel olmayan ua vektör alanına göre genelleştirilmiş normal eğriliği tanımlanmış ve bununla ilgili yeni bir doğrultu fonksiyonu elde edilmiştir. # * * Dördüncü bölümde, Wn(gij,Tk), Wn(gij,Tk) Weyl uzayları ve Wn(gij,Tk} uzayına ait bir (u, u,..., v) metriksel r-Chebyshev şebekesi göz önüne alınarak, bu şebekenin r:Wn(g^Tk}^Wn(g^fk) konform tasviri altında metriksel r-Chebyshev şebekesine dönüşmesi için gerek ve yeter koşul elde edilmiştir. * » * Aynı bölümde, Wn+ı Weyl uzayının Wn(gij.Tk) hiperyüzeyinin Wn(g^,Tk) hiperyüzeyi üzerine bir T konform tasviri altında, Wn(^j,-,7^)'ye ait bir * * * (u,^,...,u) şebekesinin Wn(gijıTk) hiperyüzeyi üzerinde metriksel r-Cheby- * * * shev olan bir (u,u,...,u) şebekesine dönüşmesi için bir gerek ve yeter koşul verilmiştir.

If the tangent vector field of C is Ta and if the generalized normal curvature is denoted by pn(va), then Pn(va) = -gabTb(TdVdva). Finally, consider the net S = (y,v,...,u,u°), where the vector fields y (r = 1, 2,..., n) are orthogonal and are normalized by the condition «ftjfV = 1. Then the following theorem holds. Theorem. The expression ueVe«r + f](R + «r) is a function of direction for Wn associated with the net 6, where « = ck - yk(Vktj)v^ and n are the geodesic curvatures of the curves of the net. As special cases of this theorem, the following well-known theorems for Riemannian spaces are obtained. Case 1. If the net (u, v,..., y ) is a geodesic net with respect to Wn, then the function of direction becomes - ueVe/c. Case 2. If Wn+i is a Riemannian space, then the equality holds, where V is the Riemannian connection. Case 3. If Wn+i is a Riemannian space and va is the normal vector field of Wn, then the above mentioned function of direction becomes n y ve/cr - 2 2_^ %1ptt, p=l where «. is the normal curvature of Wn in the direction of y and ~fprm are the Ricci's coefficients of rotation of the orthogonal net (^, v,..., y). In chapter IV, metrically r-Chebyshev nets and their conformal mappings are considered and the following theorems are obtained. * * * Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn{g^,Tk) be two Weyl spaces and r be a * conformal mapping of Wn upon Wn. If (v, v,..., y ) is a metrically r-Chebyshev net in Wn, then the conformal mapping of this net will be a net of the same type, if and only if P[kvi] = 0, (r = l,2,...,n) * where Pk = Tk - Tk is the vector of the conformal mapping.. * * Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn(gij,Tk) be two hypersurfaces of Wn+i and r:Wn{gij,Tk)-^Wn(g^Tk). IX If the tangent vector field of C is Ta and if the generalized normal curvature is denoted by pn(va), then Pn(va] = -gabTb(TdVdva). Finally, consider the net S = (y,u,...,v,u°), where the vector fields y (r = l, 2,..., n) are orthogonal and are normalized by the condition g^vlv^ = 1. Then the following theorem holds. Theorem. The expression ueVe«r + Tİ (K + «r) is a function of direction for Wn associated with the net S, where « = c/c - vk(Vktj}v^ and n are the " ' rp rp T ^ J' p f geodesic curvatures of the curves of the net. As special cases of this theorem, the following well-known theorems for Riemannian spaces are obtained. Case 1. If the net (u, u,..., u) is a geodesic net with respect to Wn, then the function of direction becomes - ueVe«;r. Case 2. If Wn+ı is a Riemannian space, then the equality -tj'V.fc. - f (K, + «J = Ç« + gab [wijXbkndV dva + (V.V,»'1)*?*^ »y»* holds, where V is the Riemannian connection. Case 3. If Wn+ı is a Riemannian space and va is the normal vector field of Wnı then the above mentioned function of direction becomes n f Ve/cr - 2 ]T «p7prr, p=l where KT is the normal curvature of Wn in the direction of y and 7prro are the Ricci's coefficients of rotation of the orthogonal net (y, y,..., v). in chapter IV, metrically r-Chebyshev nets and their conformal mappings are considered and the following theorems are obtained. * * * Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn(gij,Tk) be two Weyl spaces and r be a conformal mapping of Wn upon Wn. If (y, v,..., v) is a metrically r-Chebyshev net in Wn, then the conformal mapping of this net will be a net of the same type, if and only if ^ = 0, (r = 1,2,..., n) * where Pj, = Tk - Tk is the vector of the conformal mapping. «. « Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn(gij,Tk) be two hypersurfaces of Wn+ı and r:Wn(9ij,Tk)-^ Wn(iy,f4). ix be a conformal mapping. Suppose that the net (y,y,...,v) in Wn is trans-. * * * formed in to a net (v, v,..., v) in Wn under the mapping r. Then, the trans formed net will be a metrically r-Chebyshev net, if and only if x?xbkt[bva] + ifcvtl = 0. x If the tangent vector field of C is Ta and if the generalized normal curvature is denoted by pn(va), then Pn(va] = -gabTb(TdVdva). Finally, consider the net S = (y,u,...,v,u°), where the vector fields y (r = l, 2,..., n) are orthogonal and are normalized by the condition g^vlv^ = 1. Then the following theorem holds. Theorem. The expression ueVe«r + Tİ (K + «r) is a function of direction for Wn associated with the net S, where « = c/c - vk(Vktj}v^ and n are the " ' rp rp T ^ J' p f geodesic curvatures of the curves of the net. As special cases of this theorem, the following well-known theorems for Riemannian spaces are obtained. Case 1. If the net (u, u,..., u) is a geodesic net with respect to Wn, then the function of direction becomes - ueVe«;r. Case 2. If Wn+ı is a Riemannian space, then the equality -tj'V.fc. - f (K, + «J = Ç« + gab [wijXbkndV dva + (V.V,»'1)*?*^ »y»* holds, where V is the Riemannian connection. Case 3. If Wn+ı is a Riemannian space and va is the normal vector field of Wnı then the above mentioned function of direction becomes n f Ve/cr - 2 ]T «p7prr, p=l where KT is the normal curvature of Wn in the direction of y and 7prro are the Ricci's coefficients of rotation of the orthogonal net (y, y,..., v). in chapter IV, metrically r-Chebyshev nets and their conformal mappings are considered and the following theorems are obtained. * * * Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn(gij,Tk) be two Weyl spaces and r be a conformal mapping of Wn upon Wn. If (y, v,..., v) is a metrically r-Chebyshev net in Wn, then the conformal mapping of this net will be a net of the same type, if and only if ^ = 0, (r = 1,2,..., n) * where Pj, = Tk - Tk is the vector of the conformal mapping. «. « Theorem. Let Wn(gij,Tk) and Wn(gij,Tk) be two hypersurfaces of Wn+ı and r:Wn(9ij,Tk)-^ Wn(iy,f4). ix be a conformal mapping. Suppose that the net (y,y,...,v) in Wn is trans-. * * * formed in to a net (v, v,..., v) in Wn under the mapping r. Then, the trans formed net will be a metrically r-Chebyshev net, if and only if x?xbkt[bva] + ifcvtl = 0.