Dairesel Bir Plakanın Serbest Harmonik Titreşiminin Diferansiyel Transform Metodu Yardımıyla Analizi

Abstract

Bu çalışmada ankastre, serbest ve basit mesnetlenmiş ince dairesel bir plakanın serbest harmonik titreşimi diferansiyel transform metodu (DTM) kullanılarak incelenmiştir. DTM birçok farklı diferansiyel denklem problemine uygulanabilen yarı analitik yarı sayısal bir yöntemdir. İlk olarak hareketin yönetici diferansiyel denklemleri reküratif bağıntılara indirgenmiş, ilgili sınır ve düzenlilik koşulları da cebirsel denklem takımlarına dönüştürülmüştür. Daha sonra frekans denklemlerinin ve radyal mod fonksiyonlarının elde edilebilmesi için altı değişik dairesel plaka düzeni için DTM uygulaması çözüm detayları sunularak yapılmıştır. Dairesel plakanın dış kenarındaki sınır koşullarından ve merkezindeki düzenlilik koşullarından ileri gelen simetrik/antisimetrik mod şekillerinin birleşimi ile öngörülen altı plaka düzeni için de frekans denklemleri ve mod fonksiyonları elde edilmiştir. Literatürde, dairesel plakaların yönetici diferansiyel denklemi, sınır ve düzenlilik koşulları DTM uygulaması yapılarak dönüştürülmüş olarak halen türetilmemiştir. Boyutsuz doğal frekansların sayısal çözümlemesi sonucu elde edilen değerler, literatürde sıklıkla ifade edilmiş olan Bessel ve diğer sayısal yöntemler ile karşılaştırmalı olarak tablolaştırılmıştır. Ayrıca, dairesel plakanın mod şekilleri ve doğal frekansların hesaplanan seri büyüklüklerine göre yakınsamaları farklı sınır koşulları için karşılaştırmalı olarak incelenmiştir. Bulunan sonuçlara göre, DTM’nin özdeğer problemleri için oldukça etkili ve güvenilir bir yöntem olduğu ortaya çıkmaktadır.

This study analyses the free harmonic vibrations of simply supported, clamped and free circular thin plates with the application of differential transform method (DTM), which is a semi numerical-analytical solution technique that can be applied to various types of differential equations. Firstly, the governing differential equations are reduced to recurrence relations and its related boundary/regularity conditions are transformed into a set of algebraic equations. Then, DTM is applied to derive the frequency equation and radial mode function with solution details for six type of plate configuration. The frequency equations and mode functions are obtained for the six types of configurations which may be possible with the combinations of the outer edge boundary conditions and symmetric/antisymmetric mode cases defined by the regularity conditions at the center of the circular plate. The boundary/regularity conditions and the governing differential equation have never been derived for circular plates in terms of DTM. Numerical results for the dimensionless natural frequencies are tabulated in comparison with Bessel and numerical solutions that appear in literature. Convergence of these natural frequencies and mode shapes are investigated in comparison with different boundary conditions. From the results, it is deduced that DTM is quite a robust and powerful tool for eigenvalue problems.