Discrete-time adaptive control of port controlled hamiltonian systems

Abstract

In control theory, the design of the adaptive controllers in the discrete-time setting for nonlinear systems has been an interesting area of research. The adaptive controller deals with the problem of finding an appropriate and efficient control structure with an adaptation mechanism to preserve stability and an acceptable closed-loop performance in the existence of a considerable amount of uncertainties or time-varying parameters. It is well known that nonlinear systems are sensitive to disturbances, unknown noises, and parameter perturbations. For these kinds of perturbed systems, adaptive control theory is a powerful tool to establish compensation procedures in an effective way that automatically updates the controller to improve the performance of the controlled systems. This thesis study considers adaptive control of an important class of nonlinear systems so-called Port-controlled Hamiltonian systems (PCH) with uncertainty in their energy function and proposes adaptive discrete-time controllers with novel construction of parameter estimators for the multiplicative uncertainty case, the linearly parametrized case, and the nonlinearly parameterized case. The proposed method adopts the Interconnection and Damping Assignment Passivity-based control (IDA-PBC) as the control design method and the Immersion and Invariance (I&I) for parameter(s) estimation. Therefore, the two approaches, namely, the IDA-PBC and I&I techniques, are combined in a discrete-time framework such that all the trajectories of the closed-loop system are bounded, and system states successfully converge to the stable desired equilibrium points, namely the minimum of the desired energy function. As mentioned previously, the Immersion and Invariance (I&I) approach is considered to develop an automatic tuning mechanism for the adaptive IDA-PBC controller. To comply with I&I conditions, for each case, the estimation error dynamic is defined such that it includes a free design function of the system states, and then the parameter estimator is constructed by establishing a parameter update rule and by presenting a novel function for the mentioned free design function such that Lyapunov stability of the estimator error dynamics is ensured. This novel design function includes some parameters, that can vary in a determined range, to provide the ability to assign desired dynamics to the estimator error system. By replacing the uncertain terms with the values obtained by the I&I estimator, the closed-loop system is immersed in the desired closed-loop system which would be obtained with the IDA-PBC controller with true parameters. In the multiplicative uncertainty case, and as an initial formulation of this study, the uncertainties in energy function appear as multiplicative uncertainties to the gradient of the Hamiltonian function. Unlike the other two formulation cases, no specific perturbation is considered in the system parameters and instead, a general multiplicative uncertainty is presented to the gradient of the Hamiltonian function and thus the adaptive IDA-PBC controller is constructed considering this multiplicative uncertainty formulation. The I&I based estimator is designed by selecting an update rule and presenting a general structure for the free design function such that the estimator error dynamics are Lyapunov asymptotically stable. The proposed general structure includes a free parameter that enables to assign different desired dynamics to the estimator. By including the proposed estimator in the constructed adaptive IDA-PBC controller, the local asymptotic stability of the obtained closed-loop system is shown in a sufficiently large set. One underactuated Hamiltonian system example is considered. In the linear parameterized case, the uncertainties of system parameters appear linearly in the energy function and thus the uncertain system dynamics are formulated such that these uncertainties appear in linearly parameterized form in the gradient of the Hamiltonian function. By considering this formulation of the linear parameterization of the uncertain system parameters, the adaptive IDA-PBC controller is constructed. Since PCH is linearly parameterized in the proposed formulation, the gradient of the Hamiltonian function could be factorized in two terms such as one of the terms becomes a matrix that includes all the known terms of system states and system parameters while the other term is a vector of unknown parameters. The mentioned matrix can be a full column rank or not. In the case where this matrix is full rank, the Lyapunov asymptotic stability of the estimator is proved while the Lyapunov stability of the estimator is shown for the case when it is not full rank. It is also shown that, for the case of having not full rank matrix, the term representing the effect of uncertainties in the closed-loop system dynamics obtained with the IDA-PBC controller that uses the estimated parameters approaches to zero. Furthermore, the Lyapunov asymptotic stability of the obtained closed-loop system is shown in a sufficiently large local set either the matrix is full rank or not. For the I&I based estimator design, a general structure for the free design function that includes some free parameters is presented that makes the estimator error dynamics Lyapunov stable where these free parameters are in a determined specific range. So that, by selecting different values for these free parameters in the determined range, different desired dynamics can be assigned to the estimation of each unknown parameter. Three linearly parameterized examples are considered; two fully actuated systems (One has a formulation with a full rank matrix while the other has a formulation with a not full rank matrix), and one underactuated system. In the nonlinear parametrized case, the parameter uncertainties that appear nonlinearly in the energy function are considered. A proper formulation for uncertain system dynamics is presented such that the uncertainties appear in non-linearly parameterized form in the gradient of the Hamiltonian function and the adaptive IDA-PBC controller is constructed considering this formulation. The conditions on the Lyapunov asymptotic stability of the estimator dynamics are derived. Namely, it is proved that if these conditions are satisfied, the estimator error dynamics become asymptotically stable. Assuming these conditions are satisfied, local asymptotic stability of the closed-loop system, which is obtained when the proposed estimator is used with the adaptive IDA-PBC controller, in a sufficiently large set is proved. For the I&I based estimator design, a structure for the free design function of the estimator is proposed including some other free design functions to satisfy these conditions however it is seen that it is not easy to give general suggestions for these last free functions. It is concluded that for each example, a special selection of these functions is needed. Two nonlinearly parameterized examples are considered and proper selections of the free design functions in the proposed structure is performed. One of the example is a fully actuated mechanical system while the other one is under-actuated. The simulation results for each of the previously mentioned systems illustrated the effectiveness of the proposed adaptive controller in comparison to the non-adaptive controller for the same test conditions. The estimator successfully estimates the uncertain parameters and the adaptive IDA-PBC controller that utilizing these parameters stabilizes the closed-loop system and preserves the performance of the stable desired Hamiltonian systems.

Kontrol teorisinde, doğrusal olmayan sistemler için ayrık zaman ayarında uyarlamalı kontrolörlerin tasarımı ilginç bir araştırma alanı olmuştur. Uyarlamalı kontrol, sistemde önemli ölçüde belirsizliklerin veya zamanla değişen parametrelerin varlığında, kararlılığı ve kabul edilebilir bir kapalı çevrim performansını sağlamak için, bir uyarlama mekanizmasına sahip, uygun bir kontrol yapısı oluşturma sorunuyla ilgilenir. Doğrusal olmayan sistemlerin bozuculara ve parametre değişimlerine duyarlı olduğu iyi bilinmektedir. Bu tür etkilere maruz sistemler için, uyarlanabilir kontrol teorisi, kontrol edilen sistemlerin performansını iyileştirmek için, kontrolörü otomatik olarak güncelleyen etkili kompanzasyon prosedürleri oluşturmaya dayanan güçlü bir araçtır. Bu tez çalışması, enerji fonksiyonlarında belirsizliğe sahip olan Port Kontrollü Hamilton (PKH) sistemler olarak adlandırılan önemli bir doğrusal olmayan sistem sınıfının uyarlamalı kontrolünü ele almaktadır. Tezde çarpımsal belirsizlik durumu, belirsiz parametrelere göre doğrusal olma durumu ve belirsiz parametrelere göre doğrusal olmama durumu olmak üzere üçtür belirsizlik formulasyonu ele alınmış her bir tür için yeni parametre kestiricilerin tasarımını da içeren uyarlamalı ayrık-zamanlı kontrolör inşaası önerilmiştir. Ayrık zamanlı kontrolör inşasında, kontrollör tasarım yöntemi olarak Arabağlantı ve Sönüm Atama Pasiflik Tabanlı Kontrol (ASA-PTK) ve parametre kestiricisi tasarımı için Daldırma ve Değişmezlik (D&D) yaklaşımı temel alınmıştır. Diğer bir söyleyişle, ASA-PTK ve D&D teknikleri, kapalı çevrim sistemin tüm yörüngeleri sınırlı kalacak ve sistem durumlarının kararlı istenen denge noktasına, yani istenen enerji fonksiyonunun minimumuna başarıyla yakınsayacak şekilde ayrık-zamanlı olarak birleştirilmiştir. Daha önce belirtildiği gibi, Daldırma ve Değişmezlik (D&D) yaklaşımı, uyarlamalı ASA-PTK kontrollörü için otomatik bir ayarlama mekanizması geliştirmek için kullanılmıştır. D&D yaklaşımı çerçevesinde, her bir belirsizlik formulasyonu için parametre kestirim hatası dinamiği, sistem durumlarının serbest bir tasarım fonksiyonunu içerecek şekilde tanımlanmış ve bu hata dinamikleri Lyapunov kararlı olacak şekilde, belirtilen serbest tasarım fonksiyonu için öneriler sunulmuş ve parametre güncelleme kuralları oluşturulmuştur. Belirtilen tasarım fonksiyonu için önerilen yapılar, kestirici hata dinamiklerine istenen davranışı atama olanağı sağlayan belirli aralıkta değişebilen bazı parametreler içermektedir. IDA-PBC kontrollörde belirsiz terimler için D&D kestiricisi ile edilen değerlerin kullanılması ile, kapalı çevrimli sistem, parametrelerin bilindiği durumda IDA-PBC ile elde edilecek olan istenen kapalı çevrimli sisteme daldırılmış olur. Çarpımsal belirsizlik durumunda, bu çalışmanın ilk formülasyonu olarak, enerji fonksiyonundaki belirsizlikler, Hamilton fonksiyonunun gradyanında çarpımsal belirsizlikler olarak görülür. Diğer iki formülasyon durumundan farklı olarak, sistem parametrelerinde herhangi bir sipesifik belirsizlik göz önüne alınmamış ve bunun yerine, Hamilton fonksiyonunun gradyanına çarpımsal biçimde etkiyen genel bir belirsizliğin bulunduğu var sayılmış ve uyarlamalı ASA-PTK kontrolörü, bu formülasyon dikkate alınarak oluşturulmuştur. Bu bağlamda, D&D kesiticisi, kestirim hata dinamikleri Lyapunov asimptotik kararlı olacak şekilde hata tanımında yer alan serbest tasarım fonksiyonu için uygun bir öneri sunularak ve parametre güncelleme kuralı uygun bir şekilde seçilerek tasarlanmıştır. Önerilen fonksiyon kesitiriciye istenen farklı dinamikleri atamayı sağlayan serbest bir parametre içermektedir. Tasarlanan kestirici ile ASA-PTK'nin birlikte kullanımıyla elde edilen kapalı çevrim sistemin yeterince geniş bir küme de yerel kararlılığı ispatlanmıştır. Geliştirilen yöntem bir eksik-sürülmüş Hamiltonian sistem için uygulanmış ve simulasyon çalışmaları ile performansı incelenmiştir. Belirsiz parametrelere göre lineer olma durumunda, belirsiz parametreler enerji fonksiyonunda doğrusal olarak görünür ve bu nedenle belirsiz sistem dinamikleri, bu belirsizlikler Hamilton fonksiyonun gradyanında da doğrusal şekilde bir vektör çarpan olarak formule edilmiştir. Yani; göz önüne alınan durumda PHK bilinmeyen parametrelerine göre doğrusal olduğu için Hamilton fonksiyonunun gradyanı iki terimle çarpanlara ayrılabilir, öyleki; terimlerden biri, sistem durumlarının ve sistem parametrelerinin bilinen tüm terimlerini içeren bir matris haline gelirken diğer terim bilinmeyen parametrelerden oluşan bir vektördür. Söz edilen matris tam sütun ranklı olabilir veya olmayabilir. Bu matrisin tam ranklı olduğu durumda, kestiricinin Lyapunov asimptotik kararlılığı kanıtlanırken, tam ranklı olmadığı durumda kesitricinin Lyapunov kararlılığı gösterilmiştir. Ayrıca, söz konusu matris tam ranklı olmadığı durumda, serbestlik derecesi 1, 2 ve 3 olan sistemler için, kestirilen değerleri kullanan ASA-PTK ile elde edilen kapalı çevrim sistemde parametre belirsizliklerinin etkisine karşı düşen terimin de sıfıra yakınsağı gösterilmiştir. Öte yandan, matrisin tam ranklı olmasından bağımsız olarak, kapalı çevrim sistemin yeterince geniş bir küme de yerel kararlılığı ispatlanmıştır. D&D kestirici tasarımı için, tasarımda yer alan serbest tasarım fonksiyonu için genel bir yapı önerilmiş ve bu yapıda yer alan serbest parametrelerin belirli bir aralıkta değişmesi koşuluyla yukarıda belirtildiği gibi kestiricinin Lyapunov kararlılığı gösterilmiştir. Yapıda yer alan serbest parametreler belirtilen aralıkta değiştirilerek parametre kestircine istenilen dinamikler atanabilir. Bilinmeyen parametrelerine göre lineer üç örnek ele alınmıştır. Bunlardan ilk ikisi tam sürülmüş sistemler (Biri tam ranklı bir matrisle formule edilebilirken diğeri ancak rankı düşük bir matris ile formule edilebilmektedir), üçüncüsü ise eksik sürülmüş bir sistemdir. Bilinmeyen parametrelerine göre nonlinear olma durumu ise parametre belirsizliklerinin enerji fonksiyonunda doğrusal olmayan biçimde görüldüğü duruma karşı düşmektedir ve öncelikle bu durum için sistem denklemlerine ilişkin amaca uygun bir formulasyon sunulmuştur, sunulan formulasyonda da belirsizlikler enerji fonksiyonunun gradyanında doğrusal olmayan şekilde yer almaktadır. Sistem denklemlerine ilişkin bu formulasyon kullanılarak uyarlamalı ASA-PTK tasarımı yapılmıştır. Öncelikle, kestirici dinamiklerinin Lyapunov kararlılığı için yeter koşullar türetilmiştir, yani bu koşullar sallandığında kestirici hata dinamiklerinin asimptotik kararlı olduğu kanıtlanmıştır. Sonrasında, bu koşulların sağlandığı kabulü ile tasarlanan kestirici ile ASA-PBK'ün birlikte kullanılımıyla elde edilen kapalı çevrimli sistemin herhangi bir yeterince geniş bir kümede asimptotik kararlı olduğu kanıtlanmıştır. D&D parametre kestircisi tasarımına ilişkin olarak kestirici hata dinamiklerinde yer alan serbest tasarım fonkisyonu için başkaca serbest seçim fonksiyonları içeren genel bir yapı önerilmiş ancak bu son serbest tasarım fonksiyonları için, asimptotik kararlılık için sağlanması gereken koşulları sağlatan, genel öneride bulunmanın zor olduğu, her bir sistem için ayrı seçimlerin yapılması gerektiği sonucuna varılmıştır. Bu bağlamda, bilinmeyen parametrelerine göre doğrusal olmayan iki örnek ele alınmış ve önerilen genel yapıda yer alan serbest tasarım fonksiyonları için asimptotik kararlığı sağlayan uygun seçimler sunulmuştur. Örneklerden bir tam sürülmüş bir mekanik sistem, diğeri ise eksik-sürülmüş bir mekanik sistemdir. Simulasyon sonuçları, ele alınan her bir durum için, uyarlamalı olamayan ASA-PBK'nin kontrol amacında başarısız olurken, önerilen tasarımlarla oluşturulan uyarlamalı ASA-PBK kontrollörlerin etkinliğini göstermiştir. Önerilen asimptotik kararlılığı gösterilmiş kestirciler bilinmeyen parametreleri başarı ile kestirmiş ve bu değerleri kullanan ASA-PBK kontrollörler de örnek sistemlere istenen enerji fonksiyon atamasını yapmış ve sistemleri istenen denge noktasınlarında kararlı kılmıştır. Simulasyonlar, asimptotik kararlılığı gösterilemeyen ancak Lyapunov kararlılığı kanıtlanabilen kestiriciler kullanıldığında da (ketirim hatası sıfıra yakınsamasa da), ispatlandığı gibi kapalı çevrim sisteme bu belirsizlikler nedeni ile etkiyen bozcu terimlerin sıfıra yakınsadığı ve yine sonuçta istenen enerji fonksiyonu atamasının başarıldığını ve sistemlerin istenen denge noktalarında kararlı kılındığını göstermiştir.

Kurumsal arşive yüklenen tüm eserler telif hakkı ile korunmaktadır. Bunlar, bu kaynak üzerinden herhangi bir amaçla görüntülenebilir, ancak yazılı izin alınmadan herhangi bir biçimde yeniden oluşturulması veya dağıtılması yasaklanmıştır.

All works uploaded to the institutional repository are protected by copyright. They may be viewed from this source for any purpose, but reproduction or distribution in any format is prohibited without written permission.