Küresel gravıtasyonel şok dalgalar

Abstract

Evrenin başlangıçta sonsuz simetriye sahip olduğu ve daha sonra bu simetri gruplarının daha düşük simetri gruplarına dönüştüğü bilinmektedir. Par çacık fiziğinde, kendiliğinden simetri bozulması kavramından da bilindiği gibi, bu faz geçişleri sırasında, topolojik kusurların ortaya çıkması ve böylece evrenimizde önemli bir rol oynaması olasıdır. Uzay zamanın bu kusurlarından bir tanesi, sürekli bir simetri grubunun, ke sikli bir simetri grubuna bozulması sonucu ortaya çıkan kozmik sicimlerdir. Böyle sicimlerin evrende mevcut olması, galaksi oluşumlarını anlamak için enflasyon teorilerine alternatif bir model oluşturabilir. Eğer kozmik sicimler varsa ve yeteri kadar kütleye sahipse, bunların gravitasyonel etkileşmeleri çeşitli sayıda gözlenebilir etkilerin ortaya çıkmasına neden olur. Sicimlerin olağan olmayan gravitasyonel özellikleri bu etkilere özel bir sicimsel karak ter vererek, bu etkilerin diğer kütleli nesnelerin gravitasyonel etkilerinden ayrılabilmesine neden olur. Örneğin, bir kozmik sicmin etrafındaki uzay-zaman konik bir yapıya sahiptir ve böylece kuasarlarm ve galaksilerin çift görüntüye sahip olmaları açıkla nabilir. Ayrıca, mikrodalga fon radyasyonundaki anizotropilere de kozmik sicimlerin neden olduğu söylenebilir. Anizotropilerin ve çift görünümün deneysel olarak araştırılması, kozmik sicimlerin olup olmadığım belirleye cektir. Kozmik sicimlerin yok olması iki yol ile mümkündür. Bunlardan ilki, uçları kapalı sicimin salınım yaparak enerjisini gravitasyonel dalga olarak yayıp tüketerek ortadan yok olmasıdır. Diğer olasılık ise, uçları açık sonsuz uzun luktaki bir kozmik sicimin radyasyon yayarak veya kopup uçlarının bir birinden ışık hızıyla uzaklaşarak gözden kaybolmasıdır. Bu çalışmada, kopan sonsuz uzunlukta ve uçları birbirinden dönerek uza klaşan açık bir sicimin yaydığı küresel şok dalgalarının, Minkowski ve deSit- ter uzaylarında neden olduğu vakum dalgalanmalarım inceleyeceğiz. Vakum dalgalanmalarını incelemek için olağan yöntem, fon uzaymdaki skaler alanın enerji-momentum tensörünün vakum beklenen değerinin hesaplan- masıdır. vı Birinci bölümde, bu çalışmada incelenen problemin ana hatları ve nedenleri verilmiştir. ikinci bölümde, "Quantum Fields in Curved Space" adlı kitaptan alıntı yapılarak, ilk önce düz uzay olan Minkowski uzayı incelenmiş, bu uzayda vakum ve parçacık kavramlarının tanımları ve skaler alan kuantizasyonu an latılmıştır. Diğer alt bölümde ise, gravitasyonel alanla etkileşen kuantum teorisi, eğri uzayda kuantum teorisiyle denk olduğundan, eğri uzay-zamanın genel özellikleri tanımlanmıştır. Eğri uzay-zamanda bilinen anlamda, yani global parçacık ve vakum tamım, Poincare değişmezliği olmadığından, yapılamaz. Dolayısıyla, bizim için önemli olan, yerel olarak tanımlanmış enerji-momentum tensörünün vakum beklenen değeri gibi büyüklüklerdir. Bu nedenle, yarı klasik yaklaşımda, garvitasyonel alanla etkileşen skaler alanlar için Green fonksiyonu hesaplan malıdır. Alan denklemi kullanılarak, Green fonksiyonu için, {dlt[VZ9<*J9'l''du] + VZ9&T2 + VZ9&)tR(x)}GF(x,x'),. = -s(x -x') denklemi elde edilir. Burada Gf, Feynman Green fonksiyonu olup, alanların zamanla sınırlı çarpımı olarak tanımlanır. GF(x,x') = (O\T((X)0(x'))\O) (2) Yukarıda özetlenen bu iki bölüm, problemin tanımlanması ve uygulanacak yöntemlerin anlaşılması açısından giriş niteliğinde olup, konu üzerine yazılmış standart kitaplardan alınmıştır. Bölüm 3'te, Feynman propagatörü için propagasyon denklemini, Einstein denklemlerinin küresel şok dalga çözümü olan fon uzayında bulduk. Bunun için, işe bu fon uzayı için Nutku tarafından verilen metrik ile başlıyoruz. ds2 = 2Pdudv + 2uPcd(dv + 2uP^dÇdv + Kdv2 - 2u2d(dÇ (3) Burada u Bandi tipi ışıksal mesafe, v zamansal koordinat ve Ç, £ da kürenin steografik projeksiyonunda kullanılan açılardır. Çalışmamızda, bu metriğin özel bir durumu kullanılmış P=jl1 ve h = h(Ç + gve(v))1+İS (4) \hC\ ve küçük parametreler olan 8 ve eşlenme sabiti g cinsinden birinci mertebe den pertürbasyon açılımı yapılmıştır. Böylece, fon uzayında propagasyon denklemi d " 2 d2 " S (d d dv dudv (z2+y2) \ dz dyj du (5) vıı şeklinde elde edilir. Burada Q(v), Heaviside basamak fonksiyonu ve x = (u, ü, x, y) olmak üzere, z - x + gvQ(v) LGF(x,x') = S(x-x') (6) olarak tanımlanmıştır. Hesaplamalanmızda kullanacağımız yöntem, problemimizi Sturm-Liouvil- le problemine dönüştürüp, diferansiyel operatör (5)'in özfonksiyonlarını bu larak, L4>\ = W\ (7) bu özfonksiyonlardan Green fonksiyonunun inşa edilmesidir. GHx,x') = -EtMjm (8) A Ancak, kullandığımız metrikten de anlaşılacağı üzere, açılım parametreleri 8 ya da gr'nin sıfıra eşit olması, düz uzay limitini verdiğinden, bizim il gilendiğimiz Green fonksiyonunun sadece 8 veya g'nin birinci mertebesine orantılı olan kısmıdır. Böylece Denk. (8)'den, Gf(x, M) = E ^WM + ^Wi'M (9) A elde edilir. Burada, (f)^ 8 cinsinden sıfırına derece, (j>x da birinci derece den özfonksiyonlardır. üirinci mertebeden pertürbasyon açılımı yapılarak ve operatör (5) ikiye ayrılarak Lo4>o = Ao^o L\q. + Lq4>i = Aı^o + Ao^ı şeklinde iki ayrı diferansiyel denklem bulunur. Bunlardan ilki, (10) 1 1 f.,., iK im2u._ ©o = - exp < ık]_x + ık2y - - - - H - r-r- - \-ıRv, V (2wyy/2\R\u p\ 2y 2uR 2R J (n) Ao = -K + k\ + ki sonuçlarım verir, ikinci denklemden ise, Aı = 0 ve (f>ı =of(u,v,x,y) (12) olarak alınabileceği anlaşılır ve bu sonuçlar kullanılarak 8 cinsinden birinci mertebe propagasyon denklemi, s = l/u olmak üzere, Lf- = « d2 o."0 (%K im2\ d /, d, d -2^-2lRTs + {-R+^R)Tv-2\hd-Z+k2ö-y 2 2i. fiKs im,2 $L_ÎL f zı (uv k~)(ıns \ım~ ı) (13) dz* dy*\f- z*+y*{kiy ^ V 2R + 2Rs 1] (^ + jfc22 + u2m2)tan-1(^) vııı elde edilir.' Bu durumda, birici mertebeden Green fonksiyonunun sürekli limitinde çalıştığımızdan dolayı, w**-^ LmC** £*£.** r* x[/U)+r(x')]exp -İK 2R (s - s') im + iR(v - v') + -r^-(« - u') + ia(K -k\- k\) + ikx(x - x) 2R + ifa(y - y') \ şeklinde olduğunu hatırlatmak yararlıdır. (14) Bu denklemin ilk önce inhomojen çözümlerinin bulunması için L operatörü g cinsinden ikiye ayrılır ve / = /o + gfı açılımı yapılırsa, Lofo = I £0/1+ £ı/o=0 (15) elde edilir. Yukarıdaki iki denklemin çözülmesi için /o = 3/01 + fQ2 ve /ı = -s/11 + /12 önermesi yapılırsa, /o Ks i 4R + 2 {log (z + iy) - log [z - iy)} (K + k2 + k%)( 1 h + ik2 [(z + iy) log (z + iy) - (z + iy)} (16) 1 ki - ik2 [(z - iy) log (z - iy) - (z - iy)} ve n ^ 2R 8R2 K \og(z + iy) _ log (z - iy) ki + ik2 K + ki - ik% {(ki -İh)2 4R [2(k2 + k%) (kf + k%)\ X [(z - iy) log (z + iy) - (z + iy)] - (ki + ik2)2 x [(2 - iy) log (z - iy) - (2 - iy)] } (17) olarak bulunur. Üçüncü bölümün son alt bölümünde ise, önceki çalışmalardan farklı olarak Denk. (13)'ün homojen çözümleri incelenmiştir. Homojen çözümlerin önemi, bunların inhomojen pertürbatif çözümlerden daha büyük bir çözüm kümesine sahip olmaları ve böylece probleme genel ıx bir yaklaşım sağlayabilmeleridir. Bu homojen çözümlerin üzerindeki tek kısıtlama, problemin sınır şartlarına uymasıdır. Bu nedenle, Denk. (13)'- ün sağ tarafı sıfır alınıp, homojen çözüm için, Ih = /ı (u, x,y) + g |u/f ^(u, x, y) + vf^\u, x, y)} +.. ? + gn {vnfi2\u, x, y) + vn~lff\u, x, y) +... + f(n%(u, x, y)} (18) _ AO), Al) ?(») /£'+#' + - + /£ şeklindeki boyut olarak tutarlı bir önerme, diferansiyel denklemden yararla nılarak yapılabilir. Bu çalışmada, hem daha düşük mertebedeki çözümleri de içerdiği için, hem de daha yüksek mertebeli terimler için genel bir yak laşım sağlayacağından dolayı, sadece (jr'nin üçüncü kuvvetiyle orantılı terimi hesaplayacağız. Bu önerme kullanılarak, Denk. (13) 'de u'nin farklı kuvvetleriyle orantılı ter imler birbirlerine eşitlenirse, LHf? = 0 (19) elde edilir. Burada, Lh, L operatöründe d/dv ile orantıh olmayan terimleri içermektedir. Yukarıda verilen denklemlerin ilkinden f1H=F^(k1±ik2)-(z±iy)) formunda olduğu anlaşılır. Yapılan hesaplamalar, ashnda G^'in F fonksiyo nunun şeklinden bağımsız olduğunu ortaya koymuştur. Bunun için, özel bir / fonksiyonu, fi - (h +ik2)-(z + iy) ir^1 ~ik*)~(z~*y) şeklinde seçilirse, homojen çözümün diğer kısımları,,H ZKs 6iy,, rH 3K2s2 12iKs 12 f A h = -w-y + -RT-y - jpy + k*A> /< " K3s3 9iK2s2 18Ks 12$, A (20) (21) (22) (23) olarak elde edilir. Burada, A\, A2 ve A3 fonksiyonları ki ile orantılı olduk larından ve bu yüzden x = x', y = y' limitinde Green fonksiyonu bulunurken, integrasyon sonucu sıfır vereceğinden dolayı, bunlarla ilgilenmeyeceğiz. Bölüm 4'te ise, üçüncü bölümde bulunan çözümler ile, Denk. (14) kul lanılarak, sürekli limitte, birinci mertebeden Green fonksiyonları inşa edil miştir. Hesaplarda kolaylık sağlaması açışından, x = x' ve y = y' limitleri, enerji-momentum tensörünün vakum beklenen değeri hesaplanmadan önce alınabilir, ki ve k<ı integralleri Gausyendir ve K integrasyonu ise Dirac-delta fonksiyonu yaratır, böylece R integrali kolaylıkla alınabilir, a integrasyonu sonucu Hankel fonksiyonları ortaya çikar ve son olarak, Hankel fonksiyonları küçük argüman yaklaşımıyla seriye açılarak, homojen ve inhomojen çözümler için Green fonksiyonları elde edilir. Beşinci bölümde, son olarak, v = 0 anında kopan sicimin v > 0 için vakum dalgalanmalarına neden olup, parçacık yaratıp yaratmadığı incelenmiştir. Başka bir deyişle, Green fonksiyonlarının yardımıyla inşa edilen enerji-mo mentum tensörünün vakum beklenen değerinin bir bileşeni m^) = \l^x,l^G(X,X') (24) formülü yardımıyla hesaplanmıştır. Bu amaçla, ilk önce, Minkowski uzayında inhomojen çözüm için bu bileşen hesaplanırsa, (0|3W|0} = 0 elde edilir. Green fonksiyonu g ile orantılı terimlere sahip olmadığından ve g = 0 için düz uzay limiti elde edildiğinden dolayı, bu sonuç son derece tutarlıdır. Benzer şekilde, Minkowski uzaymde, homojen çözümler de sıfırdan farklı bir sonuç vermemektedir. Ancak homojen çözümlerden ortaya çıkan ilginç sonuç, l/m2 ve l/m4 gibi, m - 0 limitinde kızılötesi ıraksamalara sebep olan terimlerin, simetrik türevlendirme sonucunda kendiliğinden ortadan kalk masıdır. deSitter uzayında üretilen şok dalgaları çözümleri benzer şekilde oluşturula bilir. Bu deSitter uzayı çözümlerinin elde edilmesi için, Minkowski çözüm lerinin konformal faktör (1 + Auv/6) ile uygun şekilde çarpılması yeterlidir. Böylece, deSitter uzaymdaki Green fonksiyonu, şeklinde elde edilir. Bu tanım yardımıyla, dördüncü bölümde bulunan Green fonksiyonlarından sadece homojen çözümde v2 ile orantılı Green fonksi yonundan sıfırdan farklı bir çözüm elde edildiği görülür. (0\TVU. |0) = CıyA2v®{v) + C2yA2uv2Q(v) (26) xi Burada, C\ veÜ2 sabitlerdir. Elde edilen bu sonuç, (26), bize deSitter uzayında küresel şok dalgalarının neden olduğu vakum dalgalanmalarının mevcut olduğunu göstermektedir. Şok dalgalarının karakteristik özelliği olan Heaviside basamak fonksiyonu süreksizliği elde edilen bu ifadede bulunmaktadır. Sonuç olarak, bu çalışmada, Minkowski uzay-zamanında sıfır olan vakum dalgalanmalarının, deSitter uzayında sonlu sonuç vererek, parçacık yaratı mına neden olduğu bulunmuştur. Özdemir-Hortaçsu çalışması, modelin Green fonksiyonunun logaritmik ter imler de içerdiğini ortaya çıkarmıştır. Ancak bu terimler, inhomojen den klemin değil de, homojen denklemin çözümleridir. Bu çalışmada, homo jen denklemin daha genel çözümlerinin değişik bir katkı getirip getirmedik leri incelendi, ilk olarak, ne tür bir çözüm alırsak alalım, tekillik duru munun sadece eşlenme sabiti <7'nin kuvvetlerine bağlı olduğu bulunmuştur. ikinci sonuç ise, sadece ilk olarak g'nin birinci kuvvetinde ortaya çıkan ve bütün diğer kuvvetlerde de görülen logaritmik terimin önemli olduğudur. Enerji-momenturn tensörünün vakum beklenen değerinin hesaplanmasında, bütün diğer yeni terimler ortadan kalkıp, sadece bu terim kalmıştır. deSitter hesaplarında da, sonlu terim buradan bulunmuştur. Böylece, genellemenin yeni bir fiziksel katkı getirmeyeceği ortaya çıkmıştır. Ayrıca, son olarak, (0\TVV> |0) için bulunan ve deSitter uzayının eğrilik ska- leri A'nın karesiyle orantılı olan terimin, bize birinci mertebe pertürbas- yon teorisinden elde edilen sonuçların dışında da bilgi verdiği düşünülebilir. Bu nedenden dolayı, burada yapılan hesapların daha yüksek mertebelere taşınması tarafımızdan uygun bulunmaktadır.

Our study includes the investigation of the vacuum fluctuations for a spher ical shock wave due to a snapped rotating cosmic string through Minkowski and deSitter spaces. Our strategy to search for vacuum fluctuations is the calculation of vacuum expectation value of the energy-momentum tensor of a massless scalar field in the background metric of the snapped string. This can be constructed by calculating the two-point Green's function, Gf(Xi x')i for the model, and differentiating the result to obtain the vacuum expecta tion value of the energy-momentum tensor, after the coincidence limit is taken. For this purpose, in Chapter 1, the problem is defined in a general sense, and our aim in studying this problem is explained. The second chapter is a short summary of the quantum field theory in both the Minkowski and the de Sitter spacetimes. These two chapters are meant to be of introductory nature, and are taken from standard textbooks. In Chapter 3, the propagation equation of a shock wave is constructed and solved in both the homogeneous and the inhomogeneous cases, and in Chap ter 4, the Green's functions are calculated for these solutions. Finally, the last chapter is the evaluation of the vacuum expectation value of the energy- momentum tensor of a massless scalar field for both Minkowski and deSitter spacetimes. As a conclusion, we end up with a result which implies that the vacuum fluctuations vanish in Minkowski space for both of the solutions, while a finite result is obtained in the deSitter space, only for the homogeneous solution.