Takviyeli plakların karışık sonlu elemanlar metodu ile çözümü

Abstract

Bu çalışmada karışık sonlu eleman formülasyonu kullanılarak takviyeli plaklar çözülmüştür. Çözüm sırasında plak elemanı ve kiriş elemanı farklı iki ayrı eleman olarak düşünülmüş ve alan denklemleri elde edilmiştir. Gateaux türevi kullanılarak her ikisi için fonksiyoneller geliştirilerek ; plak elemanı için RPP9, kiriş-plak elemanı için RBP9 adlan verilen dokuz adet değişkene sahip sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. İki ayrı eleman kullanılmış ve bütün değişkenler için süreklilik sağlanmıştır. Plak ve kiriş elemanları arasında çökme eşitliğinin yanısıra dönme eşitliği de sağlanmıştır Bu yaklaşım daha çok bilgi ve daha gerçekçi sonuçlar sağlamıştır. Fonksiyoneller literatürde karşılaşılmayan kiriş içindeki burulma momentini de içermektedir. Böylece kiriş boyunca burulma momenti hakkında fikir sahibi olunabilmektedir. Fonksiyonellerde burulma momenti dahil olmak üzere dört adet moment, iki yönde kesme kuvveti, iki yönde dönme ve yükleme yönündeki çökme olmak üzere toplam dokuz adet bilinmeyen bulunmaktadır. Geliştirilen bu fonksiyoneller ile ara noktalan bulunmayan dört düğüm noktalı dikdörtgen sonlu eleman formülasyonu geliştirilmiştir. Bu eleman 4x9=36 serbestlik derecesi içermektedir. Bu formülasyon ile kişisel bilgisayarda Fortran programlama dilinde bir program geliştirilmiş ve farklı kenar oranlan, b/a, için basit mesnetli düzgün yaydı yük altında iken kiriş ; tam ortada, arada herhangi bir noktada, sonda ve her iki uçta olmak üzere 7 ayn rijitlikte 18 ayn tipte 126 adet problem çözülmüş ve sonuçlar grafikler üzerinde kolay anlaşılabilir ve kıyaslanabilir bir biçimde sunulmuştur. Kiriş yüksekliği plak yüksekliğine eşit verildiği zaman sistem beklenen şekilde plak olarak çalışmaktadır. Bu aşamadan sonra kiriş yüksekliği artunlmış ve plak-kiriş birleşim bölgesinin ankastre mesnet gibi davranmaya başladığı grafikler üzerinde de gösterilmiştir. Elde edilen sonuçlar grafikler ve tablolar ile gösterilmiştir.

The stiffened plates are common structural elements and they are widely employed in structural engineering applications.. Theoretical solution of stiffened plates is a difficult problem. To simplify the problem some assumption is accepted. Different types of calculation systems have developed during the past years. After the digital computer systems developed more realistic solutions have obtained for this problem. One of the popular method is "Finite Element Method" by employing digital computer. The Finite Element Method has large applications in engineering field. For stiffened plates this method have been applied successfully by many researchers. To study the stiffened plates the following basic steps are necessary, 1) Mathematical formulation of physical process 2) Numerical solution of the mathematical model. In this study, a new Finite Element Method RPP9 and RBP9 are developed for stiffened plates. By idealising stiffened plate element with two parts, plate element and beam element, a new mathematical model developed for this problem. First, two new functionals for Reissner plates and beam elements with geometric and dynamic boundary conditions have been obtained by using Gateaux differential approach. These functionals are transformable to the classical energy equations.. In the beam element the lateral bending moments yields torsion and this approach give opportunity to obtain the torsional moment in the beam element. As far as author knowledge this problem is not studied in the literature by another researcher. Following assumptions are considered. 1) Material is linearly elastic. 2) Lateral stresses are not neglected ( o\, xm, tyz ). 3) In equilibrium equations the volume forces are neglected. 4) Bernoulli-Navier hypothesis is valid. Cross-sections of plate remain plane and perpendicular to the middle surface after deformation. Depending on these assumptions the plate equations are obtained as follows, XIII 3Qy âQx Tx ax 12 Eh- h4 Mx-nMy--nq (3.1) da. 12 dy Eh* h< My-nMx--iiq \ ay ax g^"v ^ dw 6 n x dx 5Gh*x ^ dw 6 " ny+J-y'WhQy where, D = E h / 12 (1-ur ), G = E / 2 ( 1+u, ). Dynamic boundary conditions, M-M = 0 A 2-0 = 0 geometric boundary conditions, (3.2) A -w + w = 0 (3.3) written in symbolic form. Quantities with hat are known values on the boundary. In the same way beam equations are obtained with torsional moment in the beam as follows, tidy ^xv XIV 32v 32, dC2x 12 y)>y\b (3-11) 0 where "s" is a scalar. For Reissner plates the tunctionals will be, I(u) = A^QXix+Qyty),w.X 6_ Eh' [mx,x +Mxy>y)nx]-[{My>y +A/v,i)i2K]+[fir.i2r] Qy,ny]-^j{[Mx,Mx}+[My,My] + 2(l+ npi^My) - 2fi[My,Mx]} (3.12) XV and for beam plates the Junctionals will be, W =-[(&, +Ö>J^H(m*,x +M^y)^x]-[{My>y +Mb>x),ny]+[Qx,nx] ^Qy,ny] -^-j{[Mx,Mx\ +(;+ M)[Mb,Mb]} ~[[MyMy\ -(/+ m)[mv,Mv]} {tar.aj}--^[0v.ej-fc^^ 5G/jv (5.8) so with these two functions the stiifened plates are solved. In this study these two functions used separately. Because of functional have first derivative, bilinear shape functions would be used to satisfy the completeness and compatibility conditions for Reissner plates and beam elements. 2b 1 2 G ? 4 I- 2a ?H Figure 6.1. Rectangular element in global & natural coordinate systems General shape function is, j,=±(l±Ç){l±t,) and for four nodes this shape function will be as, t4 = ±{l+Ç)(l+Tj) (6.1) (6.3) XVI The plate and the beam elements has four nodes and at each node four moments, two shear force, two rotation and one displacement are defined. Totally in one element there are 36 unknowns. After developing finite element formulation for RPP9 and RBP9, a personal computer program written in Fortran programming language for the analysis stiffened plates. To check the validity of approach, first the height of beam-plate element is taken as the height of plate element. The system worked as a plate and the results are good agreement with the theoretical results for plates. Then the height of beam increased step by step and in the end this part of system become rigid. The place of the beam is defined by the ratio of c/a where c is the beginning of beam element on plate. The solutions are obtained for c/a = 0, c/a = 0,35 and c/a = 0,5. Also the problem is solved for a plate which is stiffened by two side beams. The solutions for bending moments and deflection is shown in graphs and tables with rigidity ratio. Addition to these the torsional moments are calculated along the beam element length. The numerical results are tabulated in tables and depicted in figures. As far as author knowledge this problem is not studied in the literature by another researcher.