Tek simetri eksenli ve simetri ekseni olmayan, ince cidarlı açık enkesitli çubukların, impulsif yük altında Lyapunov anlamında stabilitesinin incelenmesi

Abstract

Bu çalışmada, simetri ekseni olmayan ve tek simetri ek senli olan ince cidarlı açık enkesitli iki ucu mafsallı narin çubukların, impulsif eksenel yük altında, Lyapunov anlamında stabilitesi için bir kriter aranmıştır. Çalışma Holzer'in (18) simetrik eksenli çubukların Lyapunov anlamındaki stabilitesine ait çalışmasının, simetri ekseni olmayan ve tek simetri eksenli kesitli çubuklara teşmilidir. Çalışmanın birinci bölümünde, konu ve tarihçesi hakkın da bilgi verilmiş, problemin ana hatları ve güdülen amaç belirtilmiştir. Ayrıca bu bölümde yapılan kabuller ve söz konusu çubuklara ait kısa bir statik stabilite etüdü verilmiştir. İkinci bölümde bu çubukların impulsif yük altında hare ket denklemi ve enerji ifadesi çıkarılmış, bunu takiben de elde edilen küple denklemler ve enerji ifadeleri modal forma indirgenmiştir. Bunun için iki ucu mafsallı simetrik kesitli çubuğun yüksüz haldeki serbest titreşim probleminin öz fonksiyonları koordinat fonksiyonu olarak kullanılmış ve bu nu takiben normal koordinatlara geçişi ve bu suretle denklem sistemindeki kuplajı kaldıran bir transformasyon matrisi tanımlanmıştır. Üçüncü bölümde hareketin diferansiyel denkleminin belirli bir başlangıç değeri için çözümünün stabilitesi hakkında, matematik yönden bir tanım verilmiş ve bunu takiben de Lya punov anlamında stabilite tanımlanmış ve ispatsız olarak Direkt metod ve kullanıldığı teoremler tanıtılmıştır. Dördüncü bölümde konservatif sistemlere ait bir tanımı takiben, bu sistemlerde toplam enerji ifadesi ile Lyapunov fonksiyonu arasında bir benzeşim ortaya konmuştur. Beşinci bölümde bu çalışmanın konusu olan tioteki çubukların direkt metod yardımı ile stabilitesi incelenmiştir.. Bölüm 5.1 de bu inceleme, tek simetri eksenli çubuklar için yapılmış ve Holzer'in çift simetri eksenli çubuklar için buldu ğunun aksine (16), tek simetri eksenli çubuklar için tamamen modal formda bir stabilite kriteri elde edilmiştir. Yine bu bölümde, bu modal stabilite kriterlerinden çubuk için tek bir stabilite kriterine geçilmiştir. Bunu sağlamak için, çubuğun dinamik yüklemelere karşı modal cevap problemi incelenmiştir. Bölümün sonunda ise amplifikasyon sınırı tanımlanmış ve öngörülen deformasyon sınırından amplifikasyon sınırına geçiş sağlanmıştır. Bölüm (5.1) ve (5.2) de varılan sonuçların, simetri ek seni olmayan ince cidarlı, açık kesitli, iki ucundan mafsallı çubuklar için de geçerli olacağı gösterilmiştir. Altıncı bölümde tek simetri eksenli ince cidarlı açık kesitli, iki ucu mafsallı, impulsif bir yükle eksenel olarak yüklü, çubuk için sayısal uygulamaya hazırlık yapılmış ve arkasından sayısal uygulamaya geçilmiştir. Bu bölümün son kısmında ise elde edilen sonuçlara ait bir eleştiri yer almıştır.

In this study, a stability criteria in the sense of Lyapunov for bars with thin walled, open cross-sections under impulsive axial loadings was worked out. The cross-section of the bars are either symmetric with respect to one axis or not and the bars are pinned at each end. This work is the extention of the paper by Holzer(18) in which bars with symmetrical cross sections were studied. The principles were extended to the case of the unsymmetric bars or to bars symmetric with respect to ane axis. In the firs section, the background of the problem has been given, the main feature and the proposed goals are displayed. Further more the assumption of our calcu lations and a short account of the static stability of the mentioned bars are given. The second section deals with the study of those bars under impulsive loadings, namely with the equation of motion and energy. First of all these last equations have been obtained and then the coupled equations have been reduced to modal form. To reach this aim the free vibrations forms of the unloaded, symmetrical pinned bar were used as coordinate functions. Afterwards a transformation matrix operating the shifting to normal coordinates and thus canceling the coupling inherent to the system of equations is defined. In the third section, the stability of the solution of the differential equation of motion under certain initial conditions and the stability in the sence of Lyapunov are defined and the direct method with its principal teorems are given without proof. The fourth section deals mainly with the total energy expression in conservative systems and further a similarity between this expression and the Lyapunov function is worked out. In the fifth section, the stability of the. bars which we are studying is analyzed with the help of the direct method. The paragraph (5.1) deals with bars whose cross- section are symmetrical with respect to one axis. The proposed stability criteria is the contrary of the Holzer's in this sense that it is entirely in modal form. Pursuing, a single stability criteria is reached through the use of those modal criterias. To this a modal response analysis of the bar has been made. Toward the and of the section the amplification bound is defined and the shifting from the maxsimum allowable lateral displacement and angle of twist to the amplification bound is assured. It is proved that the results reached in paragraphs (5.1) and (5.2) are equally valid for bars with unsymmetric, thin walled, open cross sections and pinned at each end. In the sixth section, the numerical calculations for a bar symmetrical with respect to one axis and with a thin-walled, open cross-section and also pinned at each and axially loaded are carried out. Further a discussion of the theoretical and numerical results takes also place at the end of this section.