Uzun Dalga-kısa Dalga Etkileşim Denklemleri: Yalnız Dalga Çözümlerinin Varlığı Ve Yörüngesel Kararlılık

Abstract

Bu çalışmada, doğrusal olmayan dalga denklemlerinin iki farklı sistemi için yalnız dalga çözümlerinin bazı özellikleri incelenmiştir. Her iki denklem sistemi, 1D-LSI ve 2D-LSI sistemleri, bir sürekli ortamda yayılan uzun dalgalar ve kısa dalgalar arasındaki etkileşimi temsil ederler. 1D-LSI sistemi iki kısa dalga ve bir uzun dalganın bir boyutlu yayılımını tanımlayan üç kuple denklemden oluşan bir sistem iken, 2D-LSI sistemi bir kısa dalga ve bir uzun dalganın iki boyutlu yayılımını tanımlayan iki kuple denklemden oluşan bir sistemdir. Dört temel sonuç elde edilmiştir. Birincisi, 1D-LSI sistemi için yalnız dalga çözümlerinin varlığı bir kısıtlamasız varyasyonel problem yardımıyla ispatlanmıştır. İkincisi, 1D-LSI sistemi için yalnız dalga çözümlerinin yörüngesel kararlılığı Lyapunov yöntemi kullanılarak ispatlanmıştır. Üçüncüsü, enine etkileri tanımlayan parametrenin negatif değerleri için, 2D-LSI sisteminin yalnız dalga çözümlerinin var olmadığı gösterilmiştir. Dördüncüsü, aynı parametrenin pozitif değerleri için, 2D-LSI sisteminin yalnız dalga çözümlerinin varlığı Pohozaev tipi özdeşlikler yardımıyla ispatlanmıştır.

In this study some properties of solitary wave solutions for two different systems of nonlinear wave equations are investigated. Both systems of equations, the 1D-LSI and 2D-LSI systems, describe interactions between long waves and short waves propagating in a continuous medium. The 1D-LSI system is a system of three coupled equations describing one-dimensional propagation of two short waves and one long wave whereas the 2D-LSI system is a system of two coupled equations describing two-dimensional propagation of one short wave and one long wave. Three main results are obtained. First, the existence of solitary wave solutions for the 1D-LSI system is proved by the help of an unconstrained variational problem. Second, the orbital stability of solitary wave solutions for the 1D-LSI system is proved using the Lyapunov method. Third, the existence of solitary wave solutions for the 2D-LSI system is investigated by the help of Pohozaev type identities and a variational problem; first, for the negative values of the parameter describing the transverse effects, the non-existence of solitary-wave solutions is proved and next for the positive values of this parameter the existence of solitary waves is proved.