Üzerinde Darboux Eğrilerinin Tschebycheff Şebekesi Oluşturduğu Yüzeyler

Abstract

Bu çalışmada, esas itibarıyla, üç boyutlu Öklid uzayında bir S yüze yine ait Darboux eğrileri tarafından oluşturulan Tschebycheff şebekeleri incelenmiştir. Ayrıca, 5" yüzeyine paralel bir 5" yüzeyi ile S nin inversi olan S yüzeyi göz önüne alınarak, S nin Darboux eğrilerinin S' ve S yüzeyinin Darboux eğrilerine karşı gelme koşulları elde edilmiş ve her iki halde de 5 yüzeyinin cinsi belirlenmiştir. S yüzeyi üzerinde, düzgün üç a,b,c vektör alanının integral eğrilerinin oluşturduğu üçlü eğri şebekesini A = (a,b,c) ile gösterelim. Şayet bu üçlü şebekeye ait her vektör alanı şebekenin geriye kalan vektör alan larının integral eğrileri boyunca Levi-Civita anlamında paralel kayıyorsa, A şebekesine bir Tschebycheff şebekesi denir. A nin bir A' alt şebekesine ait herhangi bir vektör alanı, diğer vektör alanının integral eğrileri boyun ca paralel kayıyorsa, A' ye bir Tschebycheff şebekesi adı verilir. 2-boyutlu (a,b) şebekesine ait vektör alanlarından biri diğer vektör alanının integ ral eğrileri boyunca paralel kayıyorsa, bu şebekeye yarı - Tschebycheff şebekesi denir. S yüzeyi üzerindeki Darboux eğrilerinin teğet vektör alanları Vı,T>2, Vz olsun. Çalışmanın ikinci bölümünde, üzerinde (£>ı,X)2) şebekesinin bir Tschebycheff ve {Vı,Vs) şebekesinin de bir yarı-Tschebycheff şebeke si olduğu yegane yüzeyin bir dönel silindir veya özel olarak bir düzlemden ibaret olduğu gösterilmiştir. Çalışmanın üçüncü bölümünde, 5, S' ve S yüzeyleri ile ilgili olarak aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem. Açılabilir olmayan, küreden farklı bir yüzeyin Darboux eğrileri ile bu yüzeye paralel bir yüzeyin Darboux eğrilerinin birbirine karşı gelmesi için gerek şart, bu yüzeyin sabit ortalama eğrilikli bir yüzey olmasıdır. Herhangi bir açılabilir yüzey ile buna paralel bir yüzeyin Dar boux eğrileri birbirine karşı gelir. Teorem. Üzerinde iki Darboux eğri ailesinin bir Tschebycheff şebe kesi oluşturduğu sabit ortalama eğrilikli yüzeyler bir açılabilir yüzeyden ibarettir. Teorem. Darboux eğrileri, inversi üzerindeki Darboux eğrilerine karşı gelen, küreden farklı bir yüzey aşağıdaki yüzey sınıflarından birisine aittir: a. S yüzeyi bir Dupin siklidi olup, r - f = sbt. eğri ailesi küreseldir. b. S yüzeyi bir dönel boru yüzeyidir. Teorem. Üzerinde eğrilik çizgilerinden farklı iki Darboux eğri ailesi nin bir eğrilik çizgisi ailesi (= Darboux eğri ailesi) ile yarı Tschebycheff şebekesi oluşturduğu Mulür yüzey, bir dönel yüzey veya bir boru yüzeyinden ibarettir.