Banach Uzayları Ve Banach Örgüleri Üzerinde Tanımlı Operatör Aileleri İçin Değişmez Altuzay Teoremleri

Abstract

Bu çalışmada, Banach uzayları üzerinde tanımlı doğrusal sınırlı operatörlerin oluşturduğu bazı aileler ile Banach örgüleri üzerinde tanımlı pozitif operatörlerin oluşturduğu bazı aileler için değişmez altuzay problemi incelenmiştir. İlk olarak, ortomorfizmaları ayırma özelliğine sahip bir Banach örgüsü üzerinde tanımlı yerel yarınilpotent ve kompakt-yakın olan her sıfırdan farklı operatörün, aşikar olmayan kapalı değişmez bir ideale sahip olduğu gösterilmiştir. Ayrıca bu sonuç, kompakt-yakınlık kavramından faydalanalarak, “ortomorfizmaları ayırma özelliğine sahip bir Banach örgüsü üzerinde tanımlı pozitif operatörlerden oluşan her yerel sonlu yarınilpotent aile, bu ailenin komutantı bir kompakt pozitif operatör tarafından bastırılan bir operatöre göre baskın olan bir pozitif operatör içeriyorsa, aşikar olmayan ortak kapalı değişmez bir ideale sahiptir”, şeklinde genelleştirilmiştir. İkinci olarak, Schauder tabanına sahip bir Banach uzayı üzerinde tanımlı sürekli pozitif operatörlerden oluşan yerel sonlu yarınilpotent çarpımsal her yarıgrubun, aşikar olmayan kapalı değişmez bir altuzaya sahip olduğu gösterilmiştir. Daha sonra bu sonuç, zayıf yarınilpotentlik kavramı kullanılarak, Markushevich tabanına sahip topolojik vektör uzaylarına genişletilmiştir. Son olarak, Banach uzayları üzerinde tanımlı doğrusal sınırlı operatörlerden oluşan birlikte kompakt kümeler, değişmez altuzay problemi ile bağlantılı olarak ele alınmıştır. Birlikte kompakt kümeler için, ortak spektral yarıçap ve bunun yerel versiyonuna göre, bazı değişmez altuzay teoremleri verilmiştir. Ayrıca, birlikte kompakt kümelerin, özel bir durumda, Berger-Wang formülünü gerçeklediği gösterilmiştir.

In this work, the invariant subspace problem is studied for certain families of linear bounded operators on Banach spaces. We also consider families of positive operators on Banach lattices. First, we prove that every non-zero locally quasinilpotent compact-friendly operator on a Banach lattice with separating orthomorphisms has a non-trivial closed invariant ideal. We then generalize it by using the concept of compact-friendliness as follows: Every locally finitely quasinilpotent family of positive operators on a Banach lattice with separating orthomorphisms, whose commutant contains a positive operator which dominates an operator which is dominated by a compact positive operator, has a common non-trivial closed invariant ideal. Secondly, we prove that a locally finitely quasinilpotent multiplicative semigroup of positive continuous operators on a Banach space with a Schauder basis has a non-trivial closed invariant subspace, and then, we generalize our result to topological vector spaces with Markushevich basis by using the notion of weakly quasinilpotence. Finally, collectively compact sets of linear bounded operators on infinite dimensional Banach spaces are studied in connection with the invariant subspace problem. We give some invariant subspace results for these sets with respect to the joint spectral radius and its local version. It is also shown, in a special case, that any collectively compact set of operators satisfies the Berger-Wang formula.