Stability analysis and HOPF bifurcation in a delay-dynamical system

Abstract

Nonlinear dynamical systems have had an important place in the financial science for the last decades. These developments have helped the community understand the internal complexity of financial and economical models especially through stability, bifurcation and chaos theory. In literature, there is a great deal of studies and dynamical systems on this field. In this thesis work, the following dynamical system is considered x'=z(t)+[y(t)-a]x(t)+u(t) (1a), y'=1-by(t)-x^{2}(t)+K[y(t)-y(t-\tau)] (1b), z'=-x(t)-cz(t) (1c), u'=-dx(t)y(t)-ku(t) (1d) where a,b,c,d,k are nonnegative parameters of the system. Here K is the feedback strength and τ is time delay term, K,τϵR and K,τ≥0. State variables of the systems represent the interest rate x, the investment demand y, the price index z and average profit margin u. The main purpose of this study is to investigate the dynamic response of the system with average profit margin variable and time delay. The topics covered in the thesis study are as follows: In Section 1, we introduce the model we are considering and we present information on the properties of this system. We give a brief overview on the other financial dynamical systems available in the literature. In Section 2, we review some basic information about nonlinear stability analysis of dynamical systems, in non-delay and delay case. Section 3 includes the main work that was carried out in this thesis study. A financial model with the delayed feedback term is considered and the fixed points of this system are obtained. The distributions of the roots of the transcendental type characteristic equation is analyzed at the fixed points. After stability analysis, we determine a critical value for the time delay τ, which we name as τ _{0}. We show that the system undergoes a Hopf bifurcation at τ _{0} theoretically, switching its dynamics from stability to instability under some conditions on the parameters. Furthermore, the information obtained theoretically is represented by numerical simulations. We exhibit the stability condition of the system at the different τ values by graphs. In Section 4, we summarize our results and we conclude by some future recommendations.

Dinamik sistemler hayatımızın bir parçasıdır ve zamana göre değişimi modelleyen sistemlerdir. Bu sistemler diferansiyel denklemler ile ifade edilirler ve lineer veya nonlineer olabilirler. Matematiksel olarak bir dinamik sistem, x'=f(x), x,fϵR^{n} şeklinde ifade edilir. Bu tez çalışmasının amacı zaman gecikmeli doğrusal olmayan finansal bir dinamik sistemin nitel davranışlarını araştırmaktır. Faiz oranı, yatırım talebi, fiyat endeksi ve ortalama kar marjı içeren bu sistemin dinamik yapısı incelenip, denge noktalarında stabilite analizi yapılarak Hopf çatallanması incelenmiştir. Ayrıca bu stabilite analizleri sayısal simüslayonlarla desteklenmiştir. Sistemdeki kaotik bir davranış dış faktörlere bağlı kalmayıp sistemin doğal iç yapısındaki belirsizliklerden meydana gelmektedir. Bu durum ise kaos teorisinin ortaya çıkmasına ve bilim dünyasının dikkatini çekmesine sebep olmuştur. Kaos teorisi ise hava durumu, borsa, türbülans gibi kontrol ve tahmin edilmesi zor olgularda uygulama imkanı bulmaktadır. Kaos teorisi fen bilimleri ve mühendislik bilimleri yanında ekonomi alanında da önemli bir yere sahiptir. 2007 yılında ABD'de görülen mortgage krizinde olduğu gibi ekonomi dünyasında herhangi bir kriz çıkması durumunda kaos meydana gelmektedir. Dinamik sistem teorisi ve ekonomi-finans bilimleri arasındaki etkileşim hem matematikçiler hem de ekonomi uzmanları için geçmişten günümüze önemli bir araştırma alanıdır. Literatürde dinamik sistemlere bakıldığında, finans teorisi ile igili birçok matematiksel modeller vardır. Örneğin, x'=z+(y-a)x (3a), y'=1-by-x^{2} (3b), z'=-x-cz (3c) şeklindeki üç bağımlı değişkenli finansal dinamik sistem; üretim, para, sermaye ve iş gücü olmak üzere dört alt değişkenden yola çıkılarak türetilmiş olup, sistemdeki x değişkeni faiz oranını, y değişkeni yatırım talebini ve z değişkeni fiyat endeksini ifade etmektedir. Sabit değerlerden bahsetmek gerekirse, a≥0 sabit değeri tasarruf miktarını, b≥0 sabit değeri yatırım başına düşen maliyeti ve c≥0 sabit değeri ise ticari piyasalarda talebin fiyat esnekliğidir. Yatırım piyasasındaki, yatırım ve tasarruf arasındaki fazlalık ve fiyatlardaki değişiklik faiz oranlarında önemli değişikliklere sebep olmaktadır. Bu durumu (3a) denklemi ifade etmektedir. (3b) denklemi ise y değişkenindeki herhangi bir değişim oranının yatırım maliyeti ile faiz oranı ile ilgili olduğunu söyler. Son olarak, fiyat endeksinin enflasyon oranlarından etkilenmesinden hareketle (3c) denklemi formülize edilmiştir. Bu çalışmanın esas amacı ise (3) sistemini esas alarak yeni bir sistem oluşturup, yeni sistemin stabilite analizini ve Hopf çatallanmasını araştırmaktır. Bu hedef doğrultusunda tez çalışmasında işlenen konular aşağıda belirtildiği gibidir. Bölüm 1'de öncelikle bu tez çalışmasında araştırma yapılacak sistemin nasıl oluşturulduğundan bahsedildi. Sistemin oluşturulmasında literatürdeki iki model ele alınmıştır. Sistemlerden biri, kaotik davranış gösteren (3) denkleminin yatırım talebini ifade eden y değişkeninin denklemine zaman gecikme geribildirimi eklenmesi ile x'=z(t)+[y(t)-a]x(t) (4a), y'=1-by(t)-x^{2}(t)+K[y(t)-y(t-\tau)] (4b), z'=-x(t)-cz(t) (4c) şeklinde ifade edilen diferansiyel denklem sistemidir. Sistemde τ≥0 zaman gecikmesini, K ise geri bildirim gücünü temsil etmektedir. Bu sistem parametrelere bağlı olarak bir ya da üç denge noktasına sahiptir. Sistemde bir denge noktasında stabilite analizi uygulanmış ve Hopf dallanması saptanmıştır, bu kritik değerde y değişkeni periyodik davranış göstermektedir. Sistemdeki a,b,c sabit değerlerine uygun değerler verildiğinde ve τ_{0} kritik zaman gecikme değeri olarak alındığında, sistem τϵ[0,τ_{0}) değerleri için stabil davranırken τ=τ_{0} değerinde Hopf dallanması meydana gelmektedir. Modelimizi inşa ederken esas aldığımız diğer denklem sistemi ise x'=z+(y-a)x+u (5a), y'=1-by-x^{2} (5b), z'=-x-cz (5c), u'=-dxy-ku (5d) şeklindedir. Bu sistemde faiz oranı sadece yatırım talebi ve fiyat endeksine bağlı olmayıp ortalama kar marjına da bağlıdır. Ayrıca ortalama kar marjı ile faiz oranı doğru orantılıdır. Bu sistem ise (3) sistemine ortalama kar marjını ifade eden u yeni durum değişkeni eklenmesi ile elde edilmiştir. Parametrelerin bazı değer aralıkları için, (3) sistemi bir pozitif Lyapunov üsteline sahipken, (5) sistemi iki pozitif Lyapunov üsteline sahiptir. Dolayısıyla (3) sistemi kaotik bir yapıya sahipken (5) sistemi hiperkaotik bir davranış sergilemektedir. Bu sistemler ve çalışmamızda esas aldığımız dinamik finansal sistemimiz hakkında bilgiler verilmiştir. Daha sonrasında bu sistemlere paralel olarak literatürdeki diğer sistemler incelenmiştir. Bölüm 2'de ise lineer ve nonlineer dinamik sistemler, stabilite analizi, linearizasyon ve Hopf dallanması koşulları hakkında bilgiler verilmiştir. Lineer olmayan zaman gecikmeli diferansiyel denklemler hakkında da bilgi verilip, örneklerle anlatım yapılmıştır. Bölüm 3'te ise sistem (4) ve sistem (5)'in birleştirilmesi ile oluşturulan yeni dinamik finans sistemimiz; x'=z(t)+[y(t)-a]x(t)+u(t) (6a), y'=1-by(t)-x^{2}(t)+K[y(t)-y(t-\tau)] (6b), z'=-x(t)-cz(t) (6c), u'=-dx(t)y(t)-ku(t) (6d) şeklinde ifade edilmiştir. $K$ geri bildirim gücünü ifade etmekte ve K,τ≥0 olup, a,b,c,d,k yine sistemin negatif olmayan parametreleridir. Tez çalışmasının konusunu, yukarıda anlatılanlar ışığında, şu soruların cevaplanması oluşturmaktadır: • Sistem (6) denge noktaları civarında nasıl bir davranış gösterir? • Bu sistemin stabilite analizi yapıldığında Hopf çatallanması meydana gelir mi? • Sistemde çatallanmaya sebep olan kritik τ_{0} değerini analitik olarak hesaplayabilir miyiz? • (5) sistemine zaman gecikme teriminin eklenmesinin denklemin stabilitesi üzerindeki etkisi nedir? Sonuç olarak, bu tez çalışmasında ek değişkenler ve zaman gecikme terimlerinin (3) sistemine etkilerini hesaba katarak, (4) ve (5) sistemlerinin birleştirilmesiyle dinamik finans sistemi (6) incelenmiştir. Yeni kurulan bu dinamik sistemin stabilite analizi yapıldıktan sonra sistemde Hopf çatallanmasının meydana geldiği hem analitik olarak hem de sayısal simülasyonlarla gösterilmiştir. Bu sistemler ve çalışmamızda esas aldığımız dinamik finansal sistemimiz hakkında bilgiler verilmiştir. Daha sonrasında bu sistemlere paralel olarak literatürdeki diğer sistemler incelenmiştir. Bölüm 2'de ise lineer ve nonlineer dinamik sistemler, stabilite analizi, linearizasyon ve Hopf dallanması koşulları hakkında bilgiler verilmiştir. Lineer olmayan zaman gecikmeli diferansiyel denklemler hakkında da bilgi verilip, örneklerle anlatım yapılmıştır.