Disturbance Decoupling And Disturbance Decoupled Estimation İn Regular And Decomposed Systems

thumbnail.default.alt
Tarih
1990
Yazarlar
Çevik, Mehmet Kamil Külmiz
Süreli Yayın başlığı
Süreli Yayın ISSN
Cilt Başlığı
Yayınevi
Fen Bilimleri Enstitüsü
Institute of Science and Technology
Özet
Bozucu bastırma ve bozucu bastırılmış kestirim problemleri sonlu boyutlu, lineer, zamanla değişmeyen sistemler için geometrik yaklaşımla incelenmekte; cebir sel ve dinamik parçalardan oluşmuş bir sistem için prob lemlerin çözülebilirlik sınırlarının genişlediği göste rilmektedir. Durum denklemleri ile temsil edilen sistemin bozucu girişleri ve kontrol girişleri olmak üzere iki tür giri şi; kontrol edilen çıkışlar ve ölçülen çıkışlar olmak üzere iki tür çıkışı olduğu varsayılmaktadır. Bozucu bastırma problemi (BBP) ve bozucu bastırılmış kestirim problemi (BBKP) bu sistem modeli için geometrik yakla şımla incelenen ilk problemler olup, sistem teorisinde geometrik yaklaşımın ortaya atılmasında ve gelişmesinde önemli rol oynamışlardır [1-3]. îlk olarak Wonham ve Morse ile Basile ve Marro ta rafından çözülen BBP, kontrol edilen çıkışların girişte ki bozuculardan etkilenmemesini sağlamak amacıyla, ölçü len çıkışlardan kontrol girişlerine bir geri besleme ku ralının bulunması olarak tanımlanabilir. Bu problem baş langıçta tüm durum vektörünün ölçülebildiği varsayımı altında çözülmüş [1, 7], sabit ve dinamik çıkış geri beslemesi durumunda çözüm ise [19-23] de ele alınmıştır. Bu çalışmalarda kapalı çevrim sistemin kararlılığı ve özdeğerlerinin yerleştirilmesi gibi ek koşullar da ince lenmiştir. Literatürde BBP'nin duali olarak bilinen BBKP, bo zucuların varlığında ölçülen çıkışların ve kontrol gi rişlerinin işlenerek durum vektörünün veya durum vektö rünün bir fonksiyonunun kestirimi olarak tanımlanabilir. Durum vektörünün tamamen ölçülemediği uygulamalarda du rum geri besleme kurallarının gerçeklenebilmesi amacıyla incelenen bu problem, tüm girişlerin bilinmesi halinde [29-31] de ele alınmış, tam dereceli ve indirgenmiş de receli gözleyici sistemlerin varlık koşulları ve tasarım yöntemleri verilmiştir. Bilinmeyen girişlerin varlığında problem, ilk olarak geometrik yaklaşımla Basile ve Marro [3] tarafından incelenmiş, durum vektörünün kestirimi için türev alıcılara dayalı bir gözleyicinin varlık ko şulları ve tasarım yöntemi verilmiştir. Integral alıcı lara ve hem integral hem de türev alıcılara dayalı asim totik gözleyicilerin tasarımı daha sonraki çalışmalarda ele alınmıştır [23,32-38,45,70]. viii Bu çalışmada yukarıda kısaca tanıtılan BBP ve BBKP ortak bir çerçeve içinde geometrik yaklaşımla incelen mekte, minimum dereceli ÇIT (çarpma-integral- türev) sı nıfı gözleyiciler için kuvvetli gözlenebilirlik ve kuv vetli sezilebilirlik kavramlarına dayalı varlık koşulla rı ve tasarım yöntemleri verilmektedir. Cebirsel ve di namik parçalardan oluşmuş bir sistem için problemler ye niden tanımlanmakta, çözülebilirlik sınırlarının geniş lediği gösterilmektedir. Tezin ana hatları ve başlıca katkıları aşağıda bölümler halinde özetlenmiştir. Bölüm 2' de tezde kullanılan geometrik yaklaşım için gerekli matematik kavramlar özetlenmekte ve notasyon ta nıtılmaktadır. Bu kavramlar geometrik yaklaşımla ilgili literatürde [1-6] iyi bilinmekle beraber çoğunlukla da ğınık biçimde ve farklı notasyonlar kullanılarak yer al maktadır. Bu bölümde topluca ve tek bir notasyon kulla nılarak verilen kavramlar tezin kendi içerisinde tam ol masını sağlamakta ve okuyucuya referans kolaylığı temin etmektedir. Bu amaçla lineer cebirle ilgili olarak line er denklem sistemlerinin çözümlerinin varlığı ve tekliği için teoremler verilmekte ve geometrik yaklaşımda kulla nılan değişmez alt uzaylar tanıtılmaktadır. Yönet ilebi lirlik, gözlenebilirlik, kararlılaştırabilirlik ve sezi lebilirlik gibi sistem teorisiyle ilgili temel kavramlar değişmez alt uzayların özellikleri olarak tanımlanmakta dır. Bölüm 2' de tanıtılan değişmez alt uzayların uygula masına bir örnek olarak BBP Bölüm 3' de incelenmekte, problemin sabit ve dinamik ölçüm geri beslemesi ile çö zümü için gerek ve yeter koşullar ve geri besleme kural larının bulunması için yöntemler verilmektedir. Bu bö lümde yer alan sonuçlar ve tanıt teknikleri tezin ileri- ki kısımlarında kullanılmaktadır. BBKP ile ilgili özgün sonuçlar Bölüm 4' de toplan mıştır. Literatürde bilinmeyen girişli sistemler için gözleyicilerin varlık koşulları bilindiği halde, bu ko şullar genellikle çeşitli alt uzaylar cinsinden veril mekte, sistemin gözlenebilirlik, sezilebilirlik gibi ya pısal özellikleriyle ilişkisi bilinmemektedir. Bu açığı kapamak amacıyla ÇIT sınıfı gözleyicilerin varlığı için literatürde verilmiş olan koşullar yeniden düzenlenerek gözlenebilirlik ve sezilebilirlik kavramları ile ifade edilmeye uygun biçime getirilmiştir (teorem 4.1-4.3). Daha sonra bu koşullar tüm durum gözleyicileri için özelleştirilerek kuvvetli gözlenebilirlik ve kuvvetli sezilebilirlik [39-41] cinsinden koşullar elde edilmiş tir. Böylece teorem 4. 7' de kuvvetli sezilebilirliğin ÇIT gözleyicilerin varlığı için gerek ve yeter koşul olduğu gösterilmekte aynı zamanda kuvvetli sezilebilirlik için (A, E) -değişmez alt uzaylar cinsinden bir geometrik koşul ix kaskad bağlanmasından oluşan bir yapı önerilmiştir (Şe kil 4.4). Burada amaç durum vektörünün mümkün olduğu ka dar büyük kısmını ÇT gözleyici kullanarak kestirmek ve ÇT gözleyicinin çıkışını ÇI gözleyici için giriş olarak kullanmaktır. Bu yapı kullanılarak minimum dereceli ÇIT sınıfı tüm durum gözleyicilerin kuvvetli sezilebilirlik cinsinden varlık koşulları ve tasarım yöntemi teorem 4. 10' da verilmektedir. Teorem 4.11 ise minimum derecele rin ÇT sınıfı gözleyicilerin en küçük sezilemez alt uzaylarının boyutuna eşit olduğunu göstermektedir. Bu sonuç kullanılan türev alıcı sayısı ile minimum derece arasındaki kesin ilişkiyi ortaya koymakta ve türev alıcı sayısı arttıkça derecenin azaldığını göstermektedir. Daha önceki kısımlarda geometrik dille verilmiş olan gözleyici tasarım yöntemleri Kısım 4. 5' de matrissel dile çevrilmiş ve bilinmeyen girişli, miminum dereceli ÇIT sınıfı tüm durum gözleyicilerin tasarımı için bir algoritma verilmiştir. Verilen yöntem literatürde bili nen girişli sistemler için verilmiş olan yöntemlere [1,46] benzemekte ve gözleyici matrislerinin, sistem denklemlerinden durum uzayı dönüşümüyle elde edilen yeni denklemlerde görülen alt matrisler cinsinden hesaplanma sına imkan tanımaktadır. Matrissel dile çevrilen gözle yicilerin varlık koşulları ve tasarım yöntemleri sonuç teorem 4. 4* de özetlenmektedir. Bölüm 5' de BBP ve BBKP'nin çözümü frekans tanım bölgesinde polinom ve rasyonel matrisler kullanılarak incelenmekte ve problemler arasındaki duallik ilişkisi açıklanmaktadır. Sistem teorisinde frekans tanım bölgesi yaklaşım son yıllarda gelişmiş ve [51,52,56-58] in öncü lük ettiği çalışmalarla çok girişli-çok çıkışlı sistem lere uygulanabilir hale gelmiştir. Bu tezde incelenen problemler açısından bu tür bir yaklaşım problemin daha iyi anlaşılması ve kimi zaman sayısal açıdan daha uygun çözümler sunması bakımından önem taşımaktadır. Bu amaçla BBP ve BBKP'nin çözülebilirliğinin rasyonel matris denk lemlerinin çözümlerinin varlığına eşdeğer olduğu teorem 5.1 ve teorem 5. 4' de gösterilmiştir. Bu teoremler lite ratürde gözlenebilirlik veya yönetilebilirlik varsayım ları altında [27, 58]' de verilen benzer sonuçları bu var sayımların sağlanmadığı durumlar için genelleştirmekte dir. Elde edilen sonuçların bir yan ürünü olarak ÇIT sı nıfı geri besleme kurallarının bulunması için [25] 'de verilen yöntemden farklı bir yöntem (teorem 5.3) ve ÇIT sınıfı BBP ile ÇIT sınıfı sıfır durum gözleyici problem leri arasında bire-bir bir dual ilişki (Tablo 5.1) ve rilmiştir. Kısım 5. 2 'de bilinmeyen girişli sistemlerin gözle nebilirliği ve sezilebilirliği için Bölüm 4 'de verilmiş xı olan dinamik ve geometrik koşullardan yola çıkarak, po linom sistem matrisler cinsinden koşullar elde edilmiş tir. [37] 'de de yer alan bu koşullara ek olarak bilinen- başlangıç durumu-gözlenebilirlik için polinom sistem matrisi cinsinden yeni bir koşul teorem 5. 8' de çıkarıl mıştır. Sayısal açıdan test edilmeye çok uygun olan bu koşul sistemlerin sağ ve sol terslerinin varlığının in celenmesi için de kullanılabilir. Polinom sistem matris ler cinsinden verilen koşulların sistem sıfırları cin sinden yorumu teorem 5. 10' da sunulmaktadır. Bölüm 6' da BBP ve BBKP'nin çözümü cebirsel ve dina mik parçalardan oluşmuş ayrıştırılmış bir sistem için incelenmektedir. Gerçekte pek çok fiziksel sistemin cebirsel ve dinamik parçalardan oluşmuş olduğu düşünüle bilir. Örneğin bir elektrik devresinde direnç, bağımlı ve bağımsız kaynaklar cebirsel alt sistemi; kapasite, self gibi elemanlarsa dinamik alt sistemi oluştururlar. Literatürde bu tür sistem gösterilimi durum denklemleri nin çıkarılmasında veya bir sentez probleminde ilk adım olarak kullanılmaktadır. [71] 'de cebirsel ve dinamik parçalardan oluşmuş bir m-kapılının yönetilebilirliği, gözlenebilirliği ve bu özelliklerin dinamik n-kapılının seçimiyle nasıl değiştikleri incelenmiştir. Ayrıştırıl mış sistemlerde BBP ve transfer matrisi değişmez bırakan dinamik alt sistemlerin bulunması sorunu daha sonraki çalışmalarda ele alınmıştır [72-74]. Bu tezde BBP ve BBKP yukarıda sözü edilen çalışma lar doğrultusunda ayrıştırılmış sistemler için yeniden tanımlanmakta ve çözülebilirlik sınırlarının genişlediği gösterilmektedir. Kısım 6. 2' de tanımlanan açık çevrim (kapalı çevrim) BBP'nde amaç bileşik sistemi bozucu bas tırılmış kılacak dinamik alt sistemin (dinamik alt sis tem ve geri besleme kuralının) seçimidir. Tanımlanan problemlerin eşdeğer olmasını sağlayan bir yeter koşul teorem 6.1 'de verildikten sonra açık çevrim BBP teorem 6. 2 'de çözülmüştür. Teorem 6. 3' de ise sistemi hem bozucu bastırılmış hem de kararlı kılacak dinamik alt sistemle rin varlığı için gerek ve yeter koşullar verilmiştir. Kapalı çevrim BBP durum geri besleme, durum ve bozucu geri besleme ve dinamik ölçüm geri besleme kontrol ku ralları için teorem 6. 4-6. 6' da çözülmektedir. Geri bes leme problemlerinin çözümü ayrıştırılmamış sistemler için verilen çözümlerle hemen her noktada çözülebilirlik açısından karşılaştırılmış, ayrıştırılmamış sistemlerde ki durumun aksine tüm geri besleme problemlerinin hemen her noktada çözülebilir olduğu gösterilmiştir (teorem 6.7). BBP' lerinin pasif ve kayıpsız dinamik alt sistem lerle çözümü için gerek ve yeter koşullar teorem 6. 8 'de verilmiştir. Bu sonuçlar kesin pozitif ve simetrik mat rislerin temel bir özelliğini açıklayan yardımcı teorem 6. 3' e dayanmaktadır. xıı [71] 'de ayrıştırılmış sistemlerin gözlenebilirliği için elde edilmiş olan sonuçlar kısım 6.3 'de bilinmeyen girişli sistemler için genelleştirilmektedir. Teorem 6. 13 'de bileşik sistemi kuvvetli gözlenebilir (kuvvetli sezilebilir) kılan dinamik alt sistemlerin varlığı için gerek ve yeter koşullar ve var olduğu takdirde hesaplan masını sağlayan bir yöntem verilmiştir. Bu sonuç bilin meyen girişlerin olmaması halinde [71]' de elde edilen sonuçla çakışmaktadır. Ayrıştırılmış sistemlerin bili- nen-başlangıç durumu-gözlenebilirliği ise teorem 6.11, 12 'de incelenmiştir. Bu sonuçların bir yan ürünü olarak ve duallik ilkesinden yararlanarak elde edilen ayrıştı rılmış sistemlerin yönetilebilirliği, kararlılaştırıla- bilirliği sağ ve sol terslerinin varlığı için gerek ve yeter koşullar da bu kısımda yer almaktadır. Elde edilen tüm sonuçlar yapıcı olup dinamik alt sistemlerin tasarı mı için kavramsal algoritmalar kısım 6. 4' de önerilmiş tir. BBP ve BBKP'nin ayrıştırılmış sistemler için çözümü Tablo 6.1 ve Tablo 6. 2' de özetlenmektedir. Bu çalışmada ele alman problemleri ayrıştırılmış sistemler için incelemenin getirdiği üstünlük ayrıştı rılmış sistemi oluşturan parçalardan dinamik alt siste min değişken yapısından kaynaklanmaktadır. Bu açıdan ba kıldığında literatürde durum geri besleme, çıkış geri besleme gibi klasik yöntemlerle incelenmiş olan model uyumlaştırma, etkileşimsiz kontrol, yaklaşık bozucu bas tırma gibi problemlerin de ayrıştırılmış sistemler için incelendiğinde çözülebilirlik sınırlarının genişleyeceği öngörülebilir. Bu çalışmada elde edilen sonuçlar ve kul lanılan yöntemler yukarıda sözü edilen benzer problemle rin ayrıştırılmış sistemlerde çözümü için bir temel oluşturacak niteliktedir. 
Disturbance decoupling and disturbance decoupled estimation problems are studied for finite dimensional, linear, time-invariant systems using geometric approach. Existence conditions and design procedures of minimal order observers which are well known for systems subject to only control inputs are generalized to unknown input systems and PID class of observers. Existence conditions of full state observers are expressed in terms of strong observability and strong detectability and it is shown that their minimal orders are given by the dimensions of the smallest undetectable subspaces of nondynamic observers. A matrix algorithm is developed for the computation of minimal order observer matrices. Solvability of disturbance decoupling and disturbance decoupled estimation problems is investigated for a decomposed system consisting of dynamic and algebraic parts. Conditions for the existence and construction methods of dynamic subsystems which give rise to a composite system satisfying the desired design objectives such as disturbance decoupling, strong observability, strong detectability, invert ibilility etc. are presented. It is shown that the solvability range of the problems is enlarged when formulated in a decomposed system.
Açıklama
Tez (Doktora) -- İstanbul Teknik Üniversitesi, Fen Bilimleri Enstitüsü, 1990
Thesis (Ph.D.) -- İstanbul Technical University, Institute of Science and Technology, 1990
Anahtar kelimeler
Tahmin yöntemleri, Estimation methods
Alıntı