Direct and inverse electromagnetic wave scatteringrelated to rough surfaces

Abstract

Electromagnetic wave scattering from one dimensional rough surface is analyzed both direct and inverse problems point of view. The surface could be a deterministic one or have a random variation which can be characterized by a stationary stochastic random distribution. In the case of direct problem, with the knowledge of the surface roughness and the medium parameters, the field distribution in the whole space is obtained in terms of surface integral representations by means of appropriate integral kernels. The problem is then reduced to an integral equation or a system of an integral equations using suitable boundary conditions. To be more precise, if the problem needs to apply a single boundary condition, then it is expressed by a single integral equation. In case of more than one boundary condition requirements such as rough surfaces forms a boundary between two penetrable media, it is expressed by a system of an integral equations. The solution of the integral equation (or the system of integral equations) for the direct problem is accomplished by a traditional numerical method called method of moments (MoM). This method base on expressing the change of the field -or its normal derivative- distribution on the surface via appropriate basis functions and thus reducing the corresponding integral equation to a matrix equation. In addition to the classical integral equation solution of the problem, a spectral domain integral equation solution based on one-dimensional Fourier transform and Taylor expansion is presented as an alternative and new approach. The accuracy, validity limits and the efficiency of this new approach are analyzed with appropriate comparisons. In the second main part of the thesis, inverse problem algorithms are presented in which the geometry of an inaccessible rough surface is tried to be determined by the scattered field data. Inverse problem algorithms are essentially based on the arrangement of the integral equations used in the solution of the direct problem such that both field -or its derivative- on the surface and the rough surface geometry is included to the equations as the unknowns. Then, this nonlinear integral system is solved iteratively. In this context, a linearization based on Newton method and containing Freechet derivatives was applied in order to determine the surface function, which is the main unknown of the inverse problem. Finally, the ill-posed system was regularized by Tikhonov and solved in the sense of least squares approach. Within the scope of the thesis study, three scenarios for both direct and inverse problems have been considered. Two of these three scenarios cover the analysis of rough surfaces with perfectly electric conducting (PEC). PEC surfaces considered in this context can be illuminated by the TE or TM polarized incident wave. Since the illumination of the surface with each polarization requires consideration of different boundary conditions for the solution, TE and TM cases were analyzed separately. Finally, the scenario where the roughness is positioned to separate the two dielectric media is analyzed. The feasibility of the algorithms has been tested through numerous simulations and the obtained results are discussed in detail.

Tek boyutlu pürüzlü bir yüzeyden saçılan elektromanyetik dalga, hem düz hem de ters bir problem olarak ele alınarak analiz edilmiştir. Bahsi geçen pürüzlü yüzey, deterministtik ya da rastgele dağılıma sahip sabit-stokastik bir yapıda olabilir. Yüzeyin pürüzlülüğü ve ortam parametrelerinin bilindiği düz saçılma probleminde tüm uzaydaki alan dağılımı, uygun integral çekirdekleri aracılığıyla yüzey integrali gösterilimleri cinsinden elde edilmiştir. Daha sonra problem, uygun sınır koşullarının kullanılmasıyla bir integral denkleme veya bir integral denklem sistemine indirgenir. Daha açık ifade etmek gerekirse, problem tek bir sınır koşulu ile ifade edilebiliyor ise tek bir integral denklemi ile; geçirgen ortamlar arasındaki pürüzlü yüzeylerde olduğu gibi birden fazla sınır koşulu söz konusu olduğunda ise, bir integral denklem sistemi ile ifade edilir. Düz saçılma problemi için integral denklemlerin veya integral denklem sisteminin çözümü, momentler yöntemi (MoM) adı verilen geleneksel bir sayısal yöntemle gerçekleştirilir. Bu yöntemin temeli, alanın -veya alanın normal türevinin- yüzey üzerindeki değişiminin uygun baz fonksiyonları cinsinden ifade edilmesine ve böylece ilgili integral denklemin bir matris denkleme indirgenmesine dayanmaktadır. Problemin klasik integral denklem çözümüne ek olarak, bir boyutlu Fourier dönüşümü ve Taylor açılımına dayanan bir spektral domen integral denklem çözümü de alternatif ve yeni bir yaklaşım olarak sunulmuş ve bu yeni yaklaşımın doğruluğu, geçerlilik sınırları ve etkinliği uygun karşılaştırmalarla analiz edilmiştir. Tezin 2. ana kısmında ise, yanına yaklaşılamayan bir pürüzlü yüzeyin geometrisinin saçılan alan verileri aracılığıyla belirlenmeye çalışıldığı, ters problem algoritmaları sunulmuştur. Ters problem algoritmaları temel olarak, düz problemin çözümünde kullanılan integral denklemlerinin hem yüzey üzerindeki alan veya türevlerini hem de yüzey geometrisini, bilinmeyen olarak içerecek şekilde düzenlenmesine dayanmaktadır. Daha sonra, doğrusal olmayan bu integral sistemi iteratif olarak çözülür. Bu kapsamda, ters problemin ana bilinmeyeni olan yüzey fonksiyonunun belirlenmesi için Newton yöntemine dayanan ve Frechet türevleri içeren bir lineerleştirme uygulanmış ve nihayi kötü koşullu sistem en küçük kareler yaklaşımı ile Tikhonov anlamında regülarize edilerek çözülmüştür. Tez çalışması kapsamında, hem düz hem de ters problem için üç senaryo dikkate alınmıştır. Bu üç senaryodan ikisi mükemmel iletkenliğe sahip pürüzlü yüzeylerin analizini kapsar. Bu bağlamda, ele alınan mükemmel iletkenliğe sahip yüzeyler, TE veya TM polarize olmuş gelen dalga tarafından aydınlatılabilir. Her bir polarizasyon ile yüzeyin aydınlatılmasında, çözüm için farklı sınır koşullarının dikkate alınmasını gerektirdiğinden, TE ve TM durumları ayrı ayrı analiz edilmiştir. Son olarak, pürüzlülüğün iki dielektrik ortamı ayıracak şekilde konumlandırıldığı senaryo analiz edilmiştir. Oluşturulan algoritmaların fizibilitesi çok sayıda simülasyon aracılığıyla test edilmiş ve elde edilen sonuçlar ayrıntılı olarak tartışılmıştır. Düz problemi daha detaylı tanımlamak gerekirse, İki boyutlu bir senaryoda, pürüzlülüğü tanımlayan -tek boyutlu- yüzey profili ve bu profilinin konumlandırıldığı uzay, problemin "bilinen" parametreleridir. Pürüzlü yüzey ve bu yüzeyin konumlandırıldığı uzaya dair parametrelerin bilindiği bu senaryoda, problemin bilinmeyenleri, yüzeyden tüm uzaya saçılacak olan elektromanyetik dalgalardır. İki boyutlu olarak ele alınan bu senaryo için, dikey eksen üzerinde meydana gelen sıçramalarla ifada etmek mümkün olan bu pürüzlü yapı, sonlu bir uzunluğa sahip olacak şekilde ele alınmıştır. Bir başka deyişle, sonlu bir uzunlukta tanımlanan pürüzlülük, uç noktalarda sıfıra eşit olacaktır. Pürüzlülüğe dair bir diğer önemli husus, kendisini tanımlayan yüzey profilinin yapısıdır. Birçok benzetim senaryosu için bu profil, sürekliliği olan deterministik bir fonksiyonla ifade edilebilirken, gerçek dünyada bu pürüzlülük sabit-stokastik bir rastgele bir sürecin sonucu da ortaya çıkmış olabilir. Rastgele süreçlere bağlı olarak ortaya çıkan yüzey profilleri kapsamında, Gauss-tipi pürüzlü yüzeyler, çokça uygulama alanları bulunduğu ve buna bağlı olarak sıklıkla başvuruldukları için detaylıca ele alınmıştır. Pürüzlülüğün geometrik özellikleri dışında, elektromanyetik anlamda ele almak gerekirse, bu pürüzlü yüzey profili, boş uzaya yerleştirilmiş mükemmel bir iletken ve iki geçirgen (dielektrik) ortam arasında bir sınır oluşturan bir yapı olarak iki temel senaryo kapsamında ele alınmıştır. Bu iki temel senaryonun gerçek uygulamalara dair karşılığı, yüzeyin bir -veya birden fazla dizili- verici antenler vasıtasıyla aydınlatılması ve bu aydınlatma sonrasında yüzeyden saçılan elektromanyetik alanların, uzayda yüzeyin üzerinde bir bölgede yerleştirilmiş bir -veya birden fazla- alıcı antenler vasıtasıyla elde edilmesi olarak düşünülebilinir. Teorik olarak, verici anten(ler)in karşılığı ise uçları inceltilmiş konik yapılı bir düzlem dalgadır. Genel anlamda elektromanyetik benzetim senaryolarında yaygın olarak başvurulan geleneksel bir düzlem dalga yerine; uçları inceltilmiş bir düzlem dalgaya başvurulma nedeni, pürüzlü yüzey profilinin sonlu bir uzunlukta tanımlanmış olmasındandır. Ele alınan senaryonun elektromanyetik özellikleri (mükemmel iletken; dielektrik) ve yüzeyi aydınlatan konik yapılı düzlem dalganın polarizasyonu, farklı sınır koşullarının düşünülmesi ve bu sınır koşullarına bağlı olarak yüzey üzerinde yazılacak uygun integral denklem(ler)i ile yüzey üzerinden saçılan alanın ifadesine ulaşmak mümkündür. Daha açmak gerekirse, konik yapılı düzlem dalga, enine elektrik (TE) ve enine manyetik (TM) olmak üzere, iki farklı polarizasyona sahip olabilir. Bu iki farklı polarizasyon, pürüzlü yüzey üzerinde sırasıyla Dirichlet ve Neumann tipi iki farklı sınır koşulunun ele alınmasına neden olacaktır. Her iki sınır koşuluna bağlı olarak, mükemmel iletken yüzeyde, saçılan alanların ifadesi için iki farklı integral denklemi yazılacaktır. Dielektrik senaryo için mükemmel iletkenden farklı olarak, sadece yüzeyin üzerindeki saçılan alanlar değil; pürüzlülüğün altında kalan ortama penetre edecek olan alanlar da hesaba katılmak zorundadır. Böylelikle, saçılan alan ifadesi için tek bir integral denklemi yerine, bir integral sisteminin çözümü ele alınmalıdır. Son cümle olarak belirtmek gerekir ki, elde edilen integral denklemleri, problemin tek boyutlu olmasından kaynaklı olarak, Helmholtz denklemlerinin skalar çözümü ve Green's teorisine başvurularak ortaya konulmuştur. Yine problemin tek boyutlu olmasından kaynaklı olarak, Helmholtz denklem(ler)inin dürtü fonksiyonları cinsiden karşılığını temsil eden Hankel tipi Green fonksiyonları integral sisteminin çekirdeğini oluştururlar. Oluşturulan integral denklemlerine çözüm olarak, çok sınırlı doğrulama bölgelerinde sunulan analitik ve asimptotik yaklaşımlara nazaran, geniş bir geçerlilik bölgesinde çözüm sunan ve problemin uygulamalarında sıklıkla başvurulan sayısal bir yöntem olan moment yöntemine (MY) dair detaylı bir analiz yine düz problem kapsamında ele alınmıştır. Alternatif bir yöntem olarak sunulan spektral yöntem ise, saçılan alanların spektral domende bilinmeyen bir spektral katsayı ile ifade edilmesine dayanır. Temel olarak, bilinmeyen spektral katsayı için ortaya konulacak çözüm sonucunda, spektral domende bu katsayılara bağlı olarak yazılmış saçılan alana ters Fourier dönüşümü uygulanarak, uzaydaki saçılan alanın çözümüne ulaşmak mümkündür. Bu amaçla, öncelikle bilinmeyen spektral katsayının elde edilmesi gereklidir. Spektral katsayının elde edilebilmesi için, uzamsal domendeki saçılan alanlar, pürüzlü yüzeyin sınırı civarında tanımlanacak Taylor serileri ile ifade edilmiş ve Fourier dönüşüm tekniklerine başvurularak bu serilerin spektral domendeki karşılığı elde edilmiştir. Fourier dönüşüm özellikleri ve konvolüsyon tekniklerine başvurularak, spektral katsayının bilinmeyen olarak tanımlanabileceği ikinci tip Fredholm integral denklerime ulaşılmıştır. Denklemlerin spektral katsayı için çözümü ile saçılan alan ifadesine ulaşmak mümkündür. Bu yöntem pürüzlülüğün mükemmel iletken olduğu senaryo için ele alınmıştır. Yöntemin etkinliği ve geçerlilik sınırları çeşitli benzetim senaryoları ile detaylıca ortaya konulmuştur. Sunulan fizibilite çalışmalarında elde edilen sonuçlar, daha önceki alt başlıklarda detaylıca analizi sunulan moment yöntemi ile elde edilen sonuçlar ile quantitatif olarak kıyaslanarak ortaya konulmuştur. Ters problem senaryoları için, kabaca problemin bilinenleri ve bilinmeyenlerinin yer değiştirdiğini söylemek yanlış olmayacaktır. Bu bağlamda, sonlu bir aralık için tanımlanmış pürüzlü bir yüzey profili, problemin bilinmeyeni iken; bu bilinmeyen yüzey profili üzerinden saçılan alanlar problemin bilinen parametreleridir. Yüzeyden saçılan alan datasını kullanarak, pürüzlü yüzey profiline ulaşmaya çalışmak ters problem kapsamında ele alınmıştır. Bu kapsamda, yüzey profilinin saçılan alan datası ile ifadesi için düz problemde ortaya konulan integral denklemlerine başvurulmuştur. Yüzey üzerindeki saçılan alan ifadesini içeren integral denklemleri, yüzey profilini bilinmeyen kabul edecek şekilde tekrar ele alınmıştır. Daha detaylı olarak, çıktı olarak saçılan alanın elde edildiği, girdi olarak yüzey üzerindeki akım yoğunlukları ve pürüzlülük profilini kabul eden bir integral operatörünün pürüzlülük profili için çözümü aranacaktır. İntegral operatörünün bir girdisi olarak, problemin bilinmeyenini (pürüzlü yüzey profili) elde etmek için operatör üzerinde ters alma işlemine ihtiyaç duyulmaktadır. Öte yandan, integral operatörü ile ortaya konulan sistem, düz problemin aksine kötü pozlanmış ve doğrusal olmayan bir yapıdadır. Doğrusal olmayan yapısı için, Newton tipi doğrusallaştırma uygulanmıştır. Bu kapsamda, integral operatörünün, operatörün bir girdisi olan yüzey profiline göre türevi Frechet türevleri yöntemine başvurarak elde edilmiştir. Doğrusallaştırılan kötü koşullu sistem, en küçük kareler yaklaşımı ile Tikhonov anlamında regülarize edilerek çözülmüştür. Ortaya konulan çözüm, düz problem senaryolarında da düşünüldüğü üzere, erişilemeyen pürüzlü yüzey profilinin, hem mükemmel iletken hem de iki geçirgen ortam arasındaki sınır olduğu (dielektrik) iki alt başlıkta ele alınmıştır. Rekonstrüksiyon sırasında başvurulan saçılan alan dataları, sentetik olarak düz problemin çözümü ile elde edilmiştir. Bu noktada belirtmek gerekir ki, farklı ayrıklaştırma değerleri ve en küçük kareler uygulamaları sayesinde, "ters-suç"tan kaçınılmıştır. Düz problem de olduğu üzere, erişilemeyen mükemmel iletken bir pürüzlülüğün rekonstrüksiyonu için, iki farklı sınır koşulu için algoritmanın fizibilite çalışmaları detaylıca sunulmuştur. Diğer taraftan, erişilemeyen pürüzlülüğün iki geçirgen ortam arasında sınır oluşturduğu dielektrik tipi problem, pürüzlülüğün mükemmel iletken yapıda olduğu probleme nazaran daha zor ve karmaşık bir probleme tekabül eder. Bu zorluğu fiziksel olarak açmak gerekirse, ikinci geçirgen ortama penetre eden dalgaların varlığı, mükemmel iletken senaryoya nazaran daha zayıf bir saçılan alan datası elde edilmesine sebep olacaktır. Buna istinaden, pürüzlülüğün iki geçirgen ortam arasında sınır oluşturduğu problemin çözümüne dair çokça benzetim senaryosuna başvurularak geniş bir perspektifte fizibilite çalışmaları sunulmuştur.