Vektör Değerli Sobolev Uzaylarında Gömme Teoremleri Ve Uygulamaları

Abstract

Bu tez çalışmasında, vektör değerli izotropik ve izotropik olmayan Sobolev uzayları için gömme teoremi üzerinde çalışılmıştır. Ayrıca, bu teoremin uygulamaları incelenmiştir. Öncelikle, vektör değerli Lp uzaylarının temel özellikleri verilmiştir. Bu uzayın özellikleri kullanılarak izotropik Sobolev uzaylarının tamlığı, devam operatörünün sürekliliği ve yoğunluk teoremleri ispatlanmıştır. Daha sonra, izotropik ve izotropik olmayan Sobolev uzayları için gömme teoremleri ispatlanmıştır. Bu teoremlerin ispatında, sınırlı bölgelerde integral temsil metodu, ℝⁿ de bakıldığında ise fourier analytic metod uygulanmaktadır. Bu teoremleri kullanarak, Banach değerli Lp uzaylarında bir sınıf izotropik olmayan eliptik denklemin koersif sınırları gösterilmiştir. Son olarak, gömme teoremlerinde somut Banach uzayları kullanılarak çeşitli sonuçlar elde edilir. Örneğin, E=lq alınarak bir sınıf sonsuz sayıda anizotropik diferansiyel denklemlerin coersif özelliğe sahip olması gösterilmektedir.

In this study, imbedding theorems are studied for vector-valued isotropic and anisotropic Sobolev spaces. We also consider the applications of these theorems. Firstly, basic properties of vector-valued Lp spaces are investigated. Using the properties of this spaces, the completeness, the continuity of extension operator and the density theorem of isotropic Sobolev spaces are proved. Then, imbedding theorems are proved for vector-valued isotropic and anisotropic Sobolev spaces. In the proof of these theorems, we use the integral representation method in bounded domains and the Fourier analytic method in ℝⁿ. Using these theorems, coersive estimates for solution of anisotropic elliptic equations in Banach valued Lp spaces is shown. Consequently, we can get various results by taking concrete Banach spaces in these imbedding theorems. For instance, if E=lq then it can be shown that a class of infinite number of anisotropic differential equation has coersive property.