Anahtarlanmış Doğrusal Sistemlerin Kararlılığının İncelenmesi

Abstract

Bu çalışmada, bir altsistemler ailesinden ve bu altsistemler arasındaki geçişleri yöneten bir anahtarlama kuralından oluşan anahtarlanmış sistemler genel olarak incelenmiş; ve altsistemler ailesinin her bir üyesinin doğrusal olduğu durumda oluşan anahtarlanmış doğrusal sistemlerin kararlılığına ilişkin literatürde bulunan üç temel problem tanıtılmıştır. Bunlardan keyfi anahtarlama problemi olarak adlandırdığımız birinci problemde anahtarlama işareti ne olursa olsun sistemin kararlı olmasının koşullarını aranır. Kararlılaştırma problemi olarak adlandığımız ikinci problemde ise verilmiş bir altsistemler ailesini kararlı kılan bir anahtarlama işaretinin varlığı ve ne olduğu araştırılır. Çalışmamızda bu iki probleme ilişkin birincisinde ortak Lyapunov fonksiyonu bulunmasına ikincisinde ise altsistemlere ilişkin matrislerin bir Hurwitz konveks kombinasyonunun bulunmasına dayanan literatürde bulunan iki çözüm anlatılmıştır. Uygun anahtarlama işaretleri kümesini bulma problemi olarak adlandırdığımız üçüncü problem ise verilmiş bir altsistemler ailesini kararlı kılan özel anahtarlama işaretleri kümelerini bulma problemidir. Bu probleme ilişkin kendi geliştirdiğimiz bir yaklaşım sunulmuştur. Anahtarlanmış sistemlerin iteratif fonksiyonlar sistemlerine dönüştürülmesine dayanan bu yaklaşım ile anahtarlanmış sistemin kararlı olması için anahtarlama işaretindeki sabit aralıkların minimum uzunluğunun belli bir değerden büyük olmasına dayanan bir yeter koşul verilmiştir. Son olarak elde ettiğimiz sonuçlar iki örnek üzerinden değerlendirilmiş ve elde edilen sonuçların bu konuyla ilgili yapacağımız ileriki çalışmalar konusunda işaret ettiği yönler tartışılmıştır. Özellikle altsistemlere ilişkin matrislerin özvektörlerinin yakınlığına dayalı bir açıklama ile uygun anahtarlama kümesini bulma problemine ilişkin bir çözüm yoluna işaret edilmiştir.

In this study, switched systems, which consist of a family of subsystems and a switching rule that controls the switching between the subsystems, are explained generally, and the three problems founded in literature on the stability of switched linear systems, which arise in the case that all the subsystems are linear, are introduced. Among these, the first one called the arbitrary switching problem deals with finding the conditions that results in the stability of the switched system independent of the switching signal. The second one called the stabilizing problem considers how to find a stabilizing switching signal for a given family of subsystems. In the thesis we explained the two approaches to find the solution of these problems which depends on the presence of common Lyapunov function for the former, and on finding a Hurwitz convex combination of the subsystem matrices for the latter. The third problem that we called the problem of finding the proper set of switching signals concerns with some special sets of switching signals forming a stable switched system for a given family of subsystems. We presented our own approach to solve this problem. By the approach of converting a switched system to an equivalent iterated function system, a sufficient condition is presented based on the minimum length of the intervals where the switching signal is constant. Finally, we discuss on some issues for future research that the study points out.