Painleve denklemleri ve uygulamaları

Abstract

Dört bölümden oluşan bu tezin her bir bölümünde aşağıdaki konular incelenmiştir: İlk bölüm, diğer bölümlere bir giriş niteliği taşımaktadır. Painleve denklemlerine ulaşana kadar geçilen süreç ve Painleve sınıflandırması kısaca anlatılmaktadır. ikinci bölümde, lineer ve lineer olmayan diferansiyel denklemlerin tekillik yapıları hakkında genel hatırlatmalar yapıldıktan sonra Painleve denklemleri tanıtılmıştır. Painleve özelliği tanımlanarak, verilen bir ADD'in ya da ADD sisteminin bu özelliğe sahip olup olmadığını test eden bir yöntem (Painleve Testi) incelenmiştir. Verilen bir lineer olmayan ADD'in (veya ADD sisteminin) Painleve özelliğine sahip olması için, denklemin çözümünün, hareketli bir tekil nokta etrafında açıirmş Laurent serisinin bazı özellikleri sağlaması beklenir. Kovalevskaya'mn katı cisim probleminin integre edilebilirlik özelliği üzerine yaptığı başarılı çalışma, bu kavramın ilk ve dikkat çekici örneğidir. Bu bölümde son olarak Kovalevskaya'mn bu çalışmasına değinilmiştir. Üçüncü bölümde, Painleve denklemlerinin bazı özel çözümleri araştırılmıştır. P@ denklemi bazı bakımlardan en genel Painleve transandan denklemi olarak alınabilir, ardışık limit almalarla ve bazı işlemlerle diğer Painleve transandan denklemleri ile ilintilendirilebilir. Dolayısıyla bu bölümde P6 denklemi için özel çözümler arattırılmış olup, yukarıda bahsedilen işlemlerle diğer Painleve denklemleri için özel çözümler belirlenebilir. Dördüncü bölüm ise ikinci bölümde yapılan incelemelerin KDD'lere uygulaması niteliğim taşımaktadır. Bu bölümde Ablowitz, Kamanı ve Segur tştrâditlMan geliştirilen ARŞ Sanısı (Ters Saçılım yöntemiyle çözülebilen lineer olmayan bir kısmi diferansiyel denklemin indirgenmesiyle elde edilen bütün adi diferansiyel denklemler Painleve özelliğini taşır) verilmiştir. Bu sanıya göre ADD'lere viii indirgenen KDD'lerin, Painleve tipi denklemlere vardığı gözlenmiştir. KDD'lerin Painleve özelliğine sahip olup olmadığım belirlemek amacıyla Weiss, Tabor ve Carnavale (WTC) tararından geliştirilen bir yöntem, ARS sanısına alternatif olarak sunulmuştur. Son olarak ikinci bölümde bahsedilen Painleve testinin ADD sistemine uygulanması konusu (Henon-Heiles sistemi) örneklendirilmiştir.

The following subjects axe investigated in this thesis consisting of four sections. First section is an introduction to the other sections. The period in which Painleve equations and Painleve classification came out is mentioned briefly. In the second section, after reminding some general concepts about singularity structures of linear and non-linear differential equations, Painleve equations are introduced. Defining the Painleve property, a method for checking whether a given ODE or a system of ODE has this property is given. For a given nonlinear ODE (or system of ODE) to have the Painleve property, the solution of the equation expanded as a Laurent series about a movable singularity is expected to have some properties. The successful work of Kovalevskaya on the integrability of famous rigid-body problem is the first and most important issue on this subject. At the end of the section, this work is mentioned. Third section is devoted to some special solutions of Painleve equations. Since it can be related with other Painleve transcendents via successive limits and some other operations, equation P6 can be considered as the most general Painleve transcendent equation. Thus some special solutions for equation Pq are investigated. By the operations mentioned above, solutions for other Painleve equations can be obtained. Fourth section is the application of investigations made in the second section. The ARS conjecture (every nonlinear ODE obtained as a similarity reduction of a nonlinear PDE solvable via Inverse Scattering Transform has the Painleve property) developed by Ablowitz, Ramani and Segur is introduced. It is observed that some PDEs which should reduce to ODEs according to the conjecture are reduced to Painleve type equations. A method which was developed by Weiss, Tabor and Carnavale (WTC) for checking the Painleve property of PDEs as an alternative to the conjecture is presented. Last the Painleve test for a system of ODE given in the second section is studied by an example (Henon-Heiles system).