Duruma bağlı Riccati denklemi (SDRE) temelli kontrol yöntemi ve SDRE'nin yaklaşık çözümü

Abstract

Doğrusal olmayan sistemlerin kontrolünde karşılaşılan asıl zorluk, optimal ve uygulanabilir bir kontrol kuralının elde edilmesidir. Bir sistemin kontrolü için belirlenen amaç ölçütünü minimum yapan optimal kontrol kuralı, Hamilton Jacobi Bellman (HJB) yöntemiyle elde edilir. Ancak, doğrusal olmayan veya yüksek boyutlu sistemler için kısmi diferansiyel denklemler içeren HJB ifadesini çözmek zordur ve kesin çözümü bulmak mümkün olmayabilir. Bu sebeple, HJB denklemlerini çözmekten kaçınmak için pek çok çalışma yayınlanmıştır. Karesel amaç ölçütüne sahip doğrusal ve zamanla değişmeyen sistemler için HJB denklemi, cebirsel Riccati denklemine dönüşür ve kontrol problemi "Doğrusal Karesel Regülatör (Linear Quadratic Regulator, LQR)" olarak adlandırılır. Doğrusal olmayan kontrol yöntemlerinin aksine, LQR teorisi oldukça pratiktir ve karesel amaç ölçütüne sahip doğrusal sistemler için son derece basit bir geri beslemeli optimal kontrol kuralı sunar. Ancak çok sayıda sistem doğrusal değildir. Sistemlerin çalışma aralıklarına bağlı olarak doğrusallaştırma yapılabilir. Ancak doğrusal olmayan özellikler; sistemin yapısal özelliğidir ve doğrusallaştırma sonucu, önemli ve faydalı olabilecek bu özellikler kaybolur. Bahsedilen bu bilgiler ışığında, düşük boyutlu doğrusal olmayan sistemler veya karesel amaç ölçütlü doğrusal sistemler için optimal kontrol kuralının elde edilebildiği söylenebilir. Bu noktada "Duruma Bağlı Riccati Denklemi (State Dependent Riccati Equation, SDRE)"; LQR teorisini temel alan, sistemin doğrusal olmayan özelliklerini göz önünde bulunduran, sistematik tasarım adımlarına sahip, esnek bir kontrol yöntemi olarak karşımıza çıkar. SDRE yöntemi; kontrolör tasarımında, sistemin doğrusal olmayan özelliklerinin korunmasına imkan tanır. Ayrıca, sistem dinamiği üzerinde karşılanması kolay olan koşullara sahiptir ve bu sayede çok çeşitli doğrusal olmayan sistemlere uygulanabilir. SDRE kontrol yöntemi; doğrusal olmayan dinamikleri, bir durum vektörü ve duruma bağlı katsayılı matris değerli fonksiyonlarla çarpanlara ayırır. Bu çarpanlara ayrılmış gösterim, tek bir biçimde değildir ve kapalı çevrimli sistemin performansını arttıracak bir gösterim seçilebilir. SDRE yönteminde, kontrol sinyalini hesaplamak için her adımda cebirsel Riccati denklemi çözülür. HJB'nin çözümü ile elde edilecek optimal kontrol kuralı yerine, SDRE yaklaşık optimal bir kontrol kuralı sunar. Bu nedenle, istenen amaç ölçütü yaklaşık olarak minimum yapılır ve performanstan feragat edilmiş olur. Ancak SDRE yöntemiyle; gerçek zamanlı uygulamaya izin veren, uygulanması kolay ve yaklaşık optimal bir kontrol kuralı elde edilir. SDRE kontrol kuralı, sistemi noktasal kararlı yapan bir kontrol kuralıdır. Her adımda cebirsel Riccati denklemi çözülerek inşa edildiği için, kontrol kuralının açık ifadesi bilinmez. Oysa, kontrol kuralının ifadesi, kararlılık analizinde vazgeçilmezdir. Bu noktada, her adımda Riccati denkleminin çözülmesinden kaçınmak ve SDRE kontrol kuralının analitik bir ifadesini elde edebilmek için bir yöntem önerilmiştir. Buna göre, kontrol işaretinin inşasında kullanılan SDRE'nin çözümünü yaklaşık şekilde ifade edebilecek, birbirine benzer iki algoritma sunulmuştur. Bu sayede çözüm, sistemin durumlarına bağlı olarak analitik şekilde ifade edilebilmiş ve SDRE yöntemindeki hesaplama yükü hafifletilmiştir. Bu yaklaşık çözüme göre hesaplanan kontrol kuralının sınanması için literatürde çokça kullanılan araba-sarkaç sistemi ve manyetik kaldırma sistemi kullanılmıştır. SDRE'nin yaklaşık çözümüne bağlı sonuçlar ile standart çevrimiçi SDRE sonuçları karşılaştırılmıştır. Sonuçta, yaklaşık çözüm ile hesaplanan kontrol kuralı ile standart SDRE'ye oldukça yakın bir performans elde edilmiştir.