Grupların Büyümesi

Abstract

Bu çalışmada sonlu çoklukta üreteci var olan grupların büyüme fonksiyonları üzerinde duruyoruz. Eğer G sonlu üreteci var olan bir grup ve S altkümesi G’nin üreteç kümesi ise G’nin S’ye bağlı uzunluk fonksiyonunu tanımladıktan sonra G’nin büyüme fonksiyonunu tanıtıyoruz. Büyüme fonksiyonu bazı temel özellikre sahiptir: Büyüme fonksiyonu herzaman altçarpımsal bir dönüşümdür ve G’nin sonsuz çoklukta elemana sahip olması durumunda sürekli artan bir fonksiyondur. Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonların denk olma koşulunun tanımını verdikten sonra sonlu çoklukta üreteci var olan bir grubun büyüme fonksiyonlarının denk olduğunu gösteriyoruz. Büyüme fonksiyonuna göre üç farklı grubun varlığı söz konusudur: Büyüme fonksiyonu polinom derecesinde olan gruplar, büyüme fonksiyonu üstel fonksiyon derecesinde olan gruplar ve büyüme fonksiyonu ara büyüklüğe sahip olan gruplar. Orta büyüklüğe sahip olan grupların varlığı uzun zaman bilinmemekteydi. İlk örnek 1983 yılında Rostislav Grigorchuk tarafından inşa edilmiştir. Bu çalışmanın sonunda Grigorchuk’un inşaasını ele almaktayız.

In this study we consider growth functions of finitely-generated groups. First, we define the length function of a finitely-generated group G with a respect to a generating set S, then we introduce the growth function of G by using the length function. The growth function of a finitely-generated group has some properties: it is always submultiplicative and it is monotone increasing under the assumption that G is infinite. After giving the definition of the equivalence of functions over the natural numbers we show that growth functions are equivalent for any generating set. There are tree types of groups: groups of polynomial growth, groups of exponential growth, and groups of intermediate growth. The existence of groups which have intermediate growth was not known for a long time. The first example was constructed by Rostislav Grigorchuk in 1983. At the end of this work we give Grigorchuk’s contruction.