Group classification for a higher-order boussinesq equation

Abstract

Lie symmetry analysis of partial differential equations (PDE) is a connection for many mathematical fields, including Lie algebras, Lie groups,differential geometry, ordinary differential equations, partial differential equations and mathematical physics. This list can be extended according to the research topic, type of the PDE and so on. Finding analytical solution of a PDE is not easy in general. A powerful tool which is used by both mathematicians and physicists to find analytical solution of a PDE is transformation groups. Transformation groups, simply, can be defined as groups of which action leave the solution space of an equation invariant. One can reduce the number of independent variables of a PDE by using Lie groups and Lie algebras. The Lie algorithm to find symmetry generators can be summarized as follows: First, one generates the determining equations for the symmetries of the system. Second, these equations are solved manually or with a computer package to determine the explicit forms of the vector fields of which flows generate the transformation groups. By using Lie series and commutation relations, one can compute adjoint representations, determine the structure of the Lie algebra of the equation. From the Lie algebras, symmetry groups are obtained and actions of these symmetry groups leave the solution space of the PDE invariant.One can use Lie theory to classify differential equations. The procedure for the classification of symmetry algebras can be summarized as follows: First, find equivalence transformation of the equation. Second, find non-equivalent forms of the symmetry generator. Last, determine the invariance algebra of the equation from two and higher dimensional Lie algebras (the well-known structural results on the classification of low dimensional Lie algebras make this procedure possible). The result of this procedure is a list of representative equations with canonical invariance algebras, classified up to equivalence transformations.Symmetry classification of PDEs are studied by both mathematicians and physicists. Some mathematicians focus on Lie symmetry classification itself since it can be useful for finding integrable systems of PDEs. This thesis can be seen as an application of Lie symmetry analysis which is described above. In this thesis, a family of higher-order Boussinesq (HBq) equations of the form u_{tt}=η1 u_{xxtt}-η2 u_{xxxxtt}+(f(u))_{xx} where f(u) is an arbitary function, is considered to be classified according to the Lie symmetry algebras the equation admits depending on the formulation of the nonlinearity f(u). In Chapter 1, the literature about HBq is reviewed and main results of the thesis are given. In Chapter 2, some fundamental definitions, theorems and notations regarding Lie group analysis of differential equations is introduced. In Chapter 3, the main result of the thesis is proved, and three possible canonical forms of f(u) is obtained so that the equation admits finite-dimensional Lie algebras. In Chapter 4, some exact solutions to HBq is found by focusing on traveling wave solutions which is widely concerned in literature. Through this thesis, we believe that we contribute to the current literature on symmetry algebras of Boussinesq-type equations and also on the solutions of this PDE.

Norveçli matematikçi Sophus Lie'nin dönüşüm grupları konusunda yaptığı çalışmaların üzerinden yaklaşık yüz elli yıl geçmesine rağmen birçok matematikçi ve fizikçi için bu çalışmalar güncelliğini yitirmemiştir.Geometrik bir nesnenin simetrisi, kabaca, bu geometrik nesneyi değiştirmeyen dönüşüm olarak tanımlanır. Fizikçi ve matematikçiler genel olarak yapı koruyan simetriler ile ilgilenmişlerdir. Katı bir geometrik nesnenin yapısını koruyan sonlu sayıda dönüşüm bulabiliriz. Örneğin herhangi bir üçgeni göz önünde bulunduralım. Üçgeni katı halde bırakan dönüşümler sadece yansıma, öteleme ve döndürme simetrileridir. Bu simetriler sonucunda üçgen üzerindeki herhangi iki nokta arasındaki mesafe değişmez. Ancak, eğer üçgen silgi malzemesinden yapılırsa, yapı koruyan (yani yapıldığı malzeme değişmeyen) dönüşümlerin grubu daha büyük olur. Dolayısıyla, bu üçgen için yeni simetriler elde edebiliriz. Dönüşümlerin simetri kabul edilme şartları:1. Yapıyı korumalıdır, 2. Difeomorfizma olmalıdır. Yani, eğer x herhangi bir nesne üzerindeki konumu gösteren rastgele bir nokta ve Γ : x → x˜(x) herhangi bir simetri ise, x˜(x) x'e göre sonsuz türevlenebilir olmalıdır ve aynı şekilde ters fonksiyon Γ^(-1) de sonsuz türevlenebilir olmalıdır. 3. Geometrik nesneyi kendisine dönüştürmelidir. Yani, (x,y) düzlemindeki düzlemsel bir nesne ile (x˜,y˜) düzlemindeki görüntüsü birbirinin aynısı olmalıdır. Bu, aynı zamanda simetri şartı olarak da bilinir. Kısmi diferansiyel denklemlerin Lie simetri analizi, Lie Cebiri, Lie Grupları, Diferansiyel Geometri, Adi Diferansiyel Denklemler, Kısmi Diferansiyel Denklemler, Matematiksel Fizik gibi birçok alanı kapsayan bir bağlantı noktasıdır. Bu liste araştırma konusu, KDD'nin türü v.s. göre daha da uzatılabilir. KDD'lerin analitik çözümlerini bulmak genel olarak kolay değildir. Fizikçilerin ve matematikçilerin KDDlerin analitik çözümlerini bulmak maksadıyla kullandıkları en güçlü araçlardan biri dönüşüm gruplarıdır. Dönüşüm grupları, basitçe, etkileri bir denklemin çözüm uzayını değişmez bırakan gruplardır. Lie grupları ve Lie cebirleri kullanılarak bir KDD'nin bağımsız değişken sayısı düşürülebilir. Simetri üretecinin bulunması için kullanılan Lie'nin algoritması müteakip şekilde özetlenebilir: Öncelikle sistemin simetrilerine ait belirleyici denklemleri bulunur. Daha sonra bu denklemleri elle veya bilgisayar paket programları vasıtasıyla çözerek integral eğrileri diferansiyel denklemin simetri dönüşümünü veren vektör alanları elde edilir. Komütasyon bağıntıları ile Lie cebirinin yapısı, Lie serileri ile adjoint temsil elde edilir . Lie cebirlerinden Lie grupları elde edilir ve bu grupların etkileri çözüm uzayını değişmez bırakır. Diferansiyel denklemlerin sınıflandırılmasında Lie teorisi kullanılabilir. Simetri cebirlerinin sınıflandırılması müteakip şekilde özetlenebilir: Öncelikle denklemin denklik dönüşümlerini bulunur. İkinci olarak, simetri üreteçlerinin denk-olmayan formlarını formları bulunur. Son olarak iki veya daha yüksek boyutlu Lie cebirlerini kulanarak denklemin değişmez cebirleri elde edilir. (Düşük boyutlu Lie cebirlerinin sınıflandırılması konusundaki iyi bilinen yapısal sonuçlar bunu kolaylaştırır.) Bu işlemlerin sonucunda; denklik dönüşümlerine göre sınıflandırılmış, kurallı değişmez cebirlere sahip bir temsilci denklemler listesi elde edilir. KDDlerin simetri sınıflandırılması konusunda hem matematikçiler hem de fizikçiler çalışmaktadır. Bazı matematikçiler KDDlerin integrallenebilir sistemlerini bulmak maksadıyla sadece Lie simetri sınıflandırmalarına odaklanmışlardır. Bu tez yukarıda ifade edilen Lie simetri analizinin bir uygulaması olarak görülebilir. Bu tezde yüksek mertebeli Boussinesq denklemi u_{tt}=η1 u_{xxtt}-η2 u_{xxxxtt}+(f(u))_{xx} doğrusal olmayan f(u) fonksiyonunun formülüne bağlı olarak Lie simetri cebirlerine göre sınıflandırılmaya çalışılmıştır. Bu, daha önce çalışılmamış olan orijinal açık bir problemdir. Bölüm 1'de yüksek mertebeli Boussinesq denklemi ile ilgili literatür gözden geçirilmiş ve tezin ana sonuçları verilmiştir. Burada da belirtildiği gibi , bu denklem matematikçi Rosenau tarafından elde edilmiştir. Rosenau bu denklemi, daha önce geliştirdiği bir metodu (quasi-continuous formalism) yoğun ayrık sistemlerin (dense discrete systems) dinamiğine uygulayarak elde etmiştir.Bölüm 2'de diferansiyel denklemlerin Lie grubu analizinin temel tanımları, teoremleri ve gösterimleri verilmiştir. Bölüm 3'te, tezin ana sonucu kanıtlanmıştır ve f(u) fonksiyonlarının kanonik formları belirtilen şekilde elde edilmiştir: (A) f(u)=α e^u, α = ∓1. (B) f(u)=α ln(u), α = ∓1. (C) f(u)=α u^n, α = ∓1, öyle ki n, 0 ve 1 dışındaki reel sayılardır. Ayrıca, özel bir f(u) fonksiyonu için dört boyutlu Lie simetri cebiri elde edilmiştir ki bu durum η2=0 olduğu zaman da geçerlidir. η2=0 durumu için simetri sınıflandırması literatürde mevcuttur, ancak bunun incelendiği çalışmada simetri cebirinin maksimal boyutu 3 olarak gösterilmektedir. Dolayısıyla analizimiz, η2=0 durumunda literatürde bulunan sonuçlara da bir düzeltme getirmekte, η2 nin 0 olmadığı durumunu inceleyerek de orijinal bir çalışma olarak literatürde yerini almaktadır. Durum (A) için sonuçlar açık bir şekilde ifade edilmiştir. Durum (B) ve Durum (C) için elde edilen sonuçlar bir tabloda özetlenmiştir.Bölüm 4'de literatürde yaygın olarak ilgilenilen hareketli dalga çözümleri kullanılarak, yüksek mertebeli Boussinesq denklemi için bazı tam çözümler bulunmuştur. Bunun için öncelikle yüksek mertebeli Boussinesq denklemi f(u)=u+α u^2 için hareketli dalga çözümlerinin araştırılmasıyla aşağıda belirtilen forma dönüştürülmüştür: η2 k^4 c^2 [ F'''F'- 1/2 (F'')^2]-η1 k^2 (c^2)/2 (F')^2 - α (k^2)/3 F^3+ (c^2-k^2)/2 F^2=K_0. Daha sonra katsayılar üzerinde çeşitli tahminlerde bulunularak yüksek mertebeli Boussinesq denklemlerinin tam çözümleri bulunmaya çalışılmıştır. Bu şekilde literatürde mevcut olmayan bazı trigonometrik, hiperbolik ve elliptik çözümler elde edilmiştir. Bu tez sayesinde, Boussinesq sınıfı KDDlerin simetri cebirleri ve bu KDDlerin çözümleriyle ilgili olarak literatüre katkıda bulunduğumuza inanmaktayız.