Ters-değişmeli Köşegenleştirilebilir Lineer Operatör Aileleri İçin Kanonik Formlar

Abstract

Bu çalışmada, sonlu boyutlu bir vektör uzayı üzerinde ters-değişmeli köşegenleştirilebilir lineer operatörler ailelerinin kanonik formlarını inceledik. Öncelikle, sonlu boyutlu bir vektör uzayında herhangi bir değişmeli köşegenleştirilebilir operatörler ailesinin eş zamanlı köşegenleştirilebilir olduğuna dair iyi bilinen bir sonucu verdik. Daha sonra sonlu boyutlu bir V vektör uzayı üzerinde ters-değişmeli köşegenleştirilebilir bir A operatörler ailesini ele aldık. Genel duruma bir yön çizmesi açısından iki ve üç elemanlı ters-değişmeli köşegenleştirilebilir lineer operatörler ailelerinin inşası için detaylı bir yapı verdik. Çalışmamızın ana sonucu, V’nin alt uzaylarına öyle bir A-invaryant direkt toplam dekompozisyonu vardır ki A’nın her alt uzaya kısıtlanışı ya sıfırdan farklı bir tane operatörden oluşur ya da bazı Clifford cebrilerinin bir temsilidir. Son olarak Clifford cebirlerinin reel ve kompleks temsillerinin sınıflandırılması ile ilgili bilgiler verdik.

In this study, we examine canonical forms for families of anti-commuting diagonalizable linear operators on finite dimensional vector spaces. We begin with a well-known result on the simultaneous diagonalization of a family of commuting linear operators on a finite dimensional vector space which asserts that an arbitrary family of commuting diagonalizable operators can be simultaneously diagonalized. Then, we consider an anti-commuting family A of diagonalizable operators on a finite dimensional vector space V. In order to give a motivation for general case, we give a detailed construction for two and three element families of anti-commuting diagonalizable linear operators. Our main result is that V has an A-invariant direct sum decomposition into subspaces of V such that the restriction of the family to each summand either consists of a single nonzero operator or it is a representation of some Clifford algebra. Lastly, we give some classifications of real and complex representations of Clifford algebras.