Weyl uzaylarında çemberler ve küreler

Abstract

Bu çalışmada Weyl uzaylarında çember ve küre tanımları verilmiş ve bunların karakterizasyonları elde edilmiştir. Burulmasız bir konneksiyona sahip n- boyutlu bir Wn manifoldunda g metrik tensörü ile V konneksiyonu arasında Vg = 2(T ® g) uygunluk koşulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl uzayı denir ve genellikle Wn(g, T) şeklinde gösterilir. Burada T bir kovaryant vektör alanı olup Weyl uzayının komplemanter vektör alanı olarak adlandırılır. Üç bölümden oluşan bu çalışmanın birinci bölümünde Riemann ve Weyl uzaylarına ait bazı temel kavramlara yer verilmiştir. ikinci bölümde Riemann uzaylarında çemberler ve kürelerlerle ilgili bilinen tanım ve teoremler verilmek suretiyle Riemann uzaylarının K.Yano ve K.Nomizu tarafından geliştirilen konsörkılar geometrisi sunulmuştur. Bir Riemann uzayına ait düzgün bir C eğrisinin birinci eğriliği sabit ve ikinci eğriliği sıfır ise, C ye bir (geodezik)çember denir. Bu bölümde, önce çemberlerin gerçeklediği üçüncü mertebeden diferensiyel denklem sistemi elde edilmiş ve çemberleri koruyan konform dönüşümler(konsörkılar dönüşümler) incelenmiştir. Daha sonra, kürelere ait bir yardımcı teorem yardımıyla kürelerin bir karakterizasyonu verilmiştir. Tezin esas konusunu oluşturan üçüncü bölümde Wn(g, T) Weyl uzayında çember ve küre tanımı verilerek bunların karakterizasyonları elde edilmiştir. Wn(g,T) uzayına ait düzgün bir C eğrisinin flf(^,^) = 1 şeklinde normlanmış teğet vektör alanı Ç olmak üzere, eğer C eğrisi boyunca Vt£ = k^, Vt^ = - k£ olacak şekilde, g(^,^) = 1 şeklinde normlanmış bir ^ vektör alanı ve genelleştirilmiş kovaryant sabit olan « fonksiyonu mevcut ise, C eğrisine bir çember adı verilir. Bu çalışmada çemberle ilgili olarak aşağıdaki teoremler ispatlanmıştır. Teorem 1. Wn(g,T) Weyl uzayına ait herhangi bir çember üçüncü mertebeden V2^ + 0(Vt{, V£^)£ = 0 diferansiyel denklemini sağlar. Tersine olarak, eğer düzgün bir C eğrisi böyle bir diferansiyel denklemi sağlarsa, C eğrisi ya bir jeodeziktir, veyahutta bir çemberdir. iv Teorem 2. Wn{g,T) uzayının 1- boyutlu alt uzayı olarak düşünülen düzgün bir C eğrisinin çember olması için gerek ve yeter koşul, sıfırdan farklı paralel ortalama eğrilik vektörüne sahip olmasıdır. Wn(g, T) Weyl uzayının Wn(ğ, f) Weyl uzayı üzerine bir konform dönüşümü t olsun. t konform dönüşümü çemberleri koruyorsa böyle bir dönüşüme konsörkılar dönüşüm diyeceğiz. Teorem 3. r konform dönüşümünün konsörkılar olma koşulları {-2} ağırlıklı skaler bir fonksiyon olmak üzere P{j = gij, Pij = VjPi - PiPj + \pkpl9ii dır. Aynı bölümde Wn(g,T) Weyl uzayının konsörkılar eğrilik tensörü elde edilmiştir. Teorem 4. Wn(g, T) uzayının eğrilik tensörü Rpjkh skaler eğriliği R olmak üzere Zpjm = Rpjki - ^j£zrj{9pi9jk - gpkgji) şeklinde tanımlanan Z tensörü konsörkılar dönüşüm altında ınvaryanttır. Wm(ğ,T) Weyl uzayının sıfırdan farklı ortalama eğrilik vektörüne sahip n- boyutlu ombilik Wn(g, T) alt manifolduna (ekstrinsik) küre denir. Kürelerle ilgili olarak aşağıdaki teorem ispatlanmıştır. Teorem 5. Wn(g,T), m- boyutlu Wm{ğ,T) Weyl uzayının n- boyutlu (n > 2) bağlantılı bir alt manifoldu olsun. Eğer Wn(g, T) uzayının r yarıçaplı (r > 0) her çemberi Wm(ğ,T) uzayının bir çemberi ise Wn(g,T), Wm(ğ,T) de bir (ekstrinsik) küredir. Tersine olarak; Wn(g,T), Wm{ğ,T) uzayında bir ekstrinsik küre ise, Wn(g,T) uzayının her çemberi Wm(ğ,T) uzayının bir çemberidir.

In this work, we have defined circle and sphere in Weyl spaces and obtained their characterizations. A differentiable manifold of dimension n having a conformal metric tensor g and a symmetric connection V satisfying the compatibility condition Vg = 2(r ® g) where T is a 1- form(a covariant vector field) is called a Weyl space which we denote it by Wn(g, T) This work consists of three chapters. In chapter I, some basic definitions concerning Riemannian and Weyl spaces are given. In chapter II, after having given well known definitions and theorems concerning circles and spheres in Riemannian spaces we have presented the fundamentals of concircular geometry of Riemannian spaces developed by K.Yano and K.Nomizu. Let C be a smooth curve in a Riemannian space. If the first curvature of C is a constant and the second curvature is identically zero, then C is called a (geodesic)circle. In this chapter, we first obtain the system of third order differential equations which are satisfied by circles and investigate the conformal mapping of circles. Then, by making use of a lemma concerning spheres a characterization of spheres is given. In chapter III, we have concerned with the main subject of this thesis. The definitions of a circle and a sphere in the Weyl space Wn(g,T) and their characterizations have been obtained. Let C be a smooth curve in Wn(g,T) whose tangent field £ is normalized by the condition #(£,£) = 1. C is called a circle in Wn(g,T) if there exist a vector field |, normalized by the condition 9\$i%) ~ 1j al°ng O and a prolonged covariant constant functions «(> 0) of weight {-1} such that VA = k^, Vt^ = - k£. We call £ the radius of C. For Circles in Wn(g,T) we have the following theorems: Theorem 1. Any circle in Wn(g,T) satisfies the third order differential equation Conversely, if a smooth curve C satisfies the above differential equation it is either a circle or a geodesic. vi Theorem 2. A smooth curve C, as a 1- dimensional submanifold immersed in Wn(g, T) is a circle if and only if it has a non-zero parallel mean curvature vector. Let Wn(g,T) and Wn(g,T) be two Weyl spaces and let t be a conformal transformation of Wn{g, T) onto Wn(g, T). If circles in Wn(g, T) are transformed into circles in Wn(g,T) by the conformal transformation, then r is called a concircular transformation Wn(g,T) onto Wn(ğ,T). Theorem 3. Every circle in Wn(g,T) will be transformed into circles in Wn(ğ,T) by the conformal transformation r, if and only if the relations Pa = gii, Pu = VjPi - PiPj + -gijgklPkPi hold true, where <^ is a scalar function of weight {-2}. Theorem 4. The covariant tensor Z with components Zijki defined by D Zijki = Rijki -, Tr{9ii9jk - 9kigji), n[n - 1) where Rijki and R are, respectively, the components of the covariant curvature tensor and the scalar curvature of Wn(g,T), is invariant under a concircular transformation If Wn(g, T) is an n- dimensional umbilical submanifold of the Tri dimensional Weyl space Wn(ğ,T) with non-zero parallel curvature vector, then it is called an extrinsic sphere or simply a sphere. The following theorem concerning spheres is proved: Theorem 5. Let Wn(g,T) (n > 0) be a connected submanifold of a Weyl space Wm(ğ, T). If for some r > 0, every circle of radius r in Wn(g, T) is a circle in Wm(ğ,f),_then Wn(g,T) is a sphere in Wm(g,f). Conversely, _if Wn{g,T) is a sphere in Wm(ğ,T), then every circle in Wn(g, T) is a circle in Wm(ğ, T).