Özel Fonksiyonların Tekilliklere Dayalı Birleşik Bir Teorisi Üzerine

Abstract

Bu çalışmada, özel fonksiyonlardan, genel Fuchs teorisi ve onun üç ve dört tekil noktaya sahip özel halleri olan hipergeometrik ve Heun denklemlerinin genel yapıları işlenmiştir. (n+1) tekil noktaya sahip Fuchs denklemin genel hali inşa edildikten sonra, Fuchs invaryantının bulunması gösterilmiştir. Üç tekil noktaya sahip Fuchs denklemlerinden Riemann-Papperitz denklemi ile giriş yapılara, bağımlı ve bağımsız değişkenlere göre yapılan dönüşümlere dair genel teoriler ele alınmıştır. Riemann denklemin kanonik durumu olan hipergeometrik denklem elde edildikten sonra, hipergeometrik denklemin tekillikleri civarındaki çözümleri ve bu çözümlerin yakınsaklıkları ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Akabinde Heun denkleminin genel yapısı hakkında bilgi verilmiştir. Hipergeometrik ve Heun denklemin konflüent durumları da incelendikten sonra, bu denklemlerin otomorfizma grupları ele alınmış ve özellikle hipergeometrik denklemi invaryant kılan dönüşümler incelenmiştir. Son olarak da hipergeometrik denklem özelinde uygulamalar verilmiş, çözümleri alınmıştır.

In this study, fuchsian theory and fuchsian equations with three and four singular points are discussed. At the beginning fuchsian equation with (n+1) singular points is constructed and the fuchsian invariant is obtained. Fuchsian equations with three singularities are Riemann-Pappertiz and hypergeometric equation were discussed in detail. The mappings of dependent and independent variables are used in order to obtain the canonical forms of Riemann equation. Hypergeometric equation which is the canonical form of Riemann equation is the general topic of this study. The solutions of hypergeometric equations around the neighborhood of its singularities are taken and convergence of these solutions is discussed in detail. Then, Heun equation and confluent hypergeometric and Heun equation are introduced. At the end of this study, the automorphism groups of hypergeometric and Heun equations are discussed. Especially, the mapping which makes hypergeometric equation invariant is investigated.