Diffraction Of Acoustic Waves By A Semi-infinite Cylindrical Pipe

Abstract

Bu çalışmada, yüzeylerinde empedans türünden sınır koşullarının sağlandığı ve belirli bir kalınlığa sahip olan silindir kesitli yarı-sonsuz bir borudan akustik dalgaların kırınımı incelenmiştir (Bk. Şekil 1). Açısal simetri sağlamak amacıyla dalgaların bu halka kaynak tarafından uygulandığı varsayılmıştır. Bu problemin klasik Fourier dönüşümü tekniği ile formülasyonu yapılırsa, çözülmesi mümkün olmayan bir vektörel Wierier- Hopf denklemi elde edilir. Bu nedenle, Fourier dönüşümü tekniği ile Mod uydurma (Mode Matching) yöntemi birlikte kullanılmıştır. Bu karma yöntem problemi ikinci tipten skaler bir modifiye Wiener- Hopf denklem ine indirgenmiştir. Bu son problemin çözümü de sonsuz boyutlu bir lineer denklem sisteminin çözümüne indirgenmiş ve sayısal tekniklerle, yaklaşık olarak, çözülmüştür. Zı Z-> ıı- cı. Şekil 1. Problemin Geometrisi vııı 2. Problemin Formülasyonu (p, , z) alışılmış silindirik koordinatlan göstermek üzere, p = b, z = c > 0 çizgisi üzerinde bulunan bir halka kaynak tarafından üretilen akustik dalgaların B = {(p, , z)\ a2 < p < a\, ? [0, 2ıt), z < 0} bölgesinde bu lunan silindir kesitli, yarı-sonsuz bir borudan saçılmasını göz önüne alalım. Zq ortamın akustik dalga empedansmı göstermek üzere borunun p = a\, z < 0 yüzeyi Zı = Z0/r)U p = a2, z < 0 yüzeyi Z2 = Z0/r]2 ve a2 < p < ctı, z - 0 yüzeyi de Z3 = Zq/tj3 empedansı ile modellenebilir olsun. Prob lem, u(p, z) toplam alanının aşağıdaki gibi ayrılan değişik bölgelerdeki açık ifadesinin bulunmasından ibarettir: uı(p,z), p>b. u2(p,z), a,<p0, Uj U4(p,z), p < a2, z < 0. Bilindiği gibi, a2 < p < aı, z < 0 bölgesinde toplam alan özdeşleyin sıfıra eşittir. Yukarıda sözü edilen u\, u2, u3 ve w4 fonksiyonlan, Helmholtz denklemini, açık ifadeleri aşağıda verilen sınır ve süreklilik koşulları altında sağlar: uı(b,z)=u2{b,z), z <="" 0="" (2d)="" [ikri3="" u3(p,0)="0," a2<="" o,0), p0 (2h) d d ?K-u2(auz) = -u3(auz), z > 0. (2i) Toplam alanın çok uzaklara gidildikçe asimptotik davranışı, radyasyon koşulu uyarınca pikr U ~ y/p2 + z2 -> 00 (2j) IX seklindedir. Ayrıca çözümün tekliğini garantileyebilmek için p = a\, z = O kenarına ilişkin u = sabit, z - > +0 (3a) dp (36) ayrıt koşullarını da göz önüne almak gerekir [9]. p>bvea\<p<="" 3m(k)="" yarı-="" düzleminde,="" g+(p,="" qm(a)="" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px;"> ^sm(-k) yarı-düzleminde regüler olan fonksiyonlardır. (5a) nm öı <pb bölgelerinde radyasyon koşulunu sağlayan çözümleri göz önüne alınırsa F(p,a) = A(a)H{01)(Kp) (7) G+(p,a) + G~(p,a) = B(a)J0(Kp) + C(a)Y0(Kp) (8) yazılabileceği anlaşılır. Şimdi halka kaynağın (2a,b) ile verilen tanımının Fourier dönüşümünü göz önüne alalım. Bu A(a), B(a) ve C(a) spektral katsayıları arasında A(a)H^\Kb) = B(a)J0(Kb) + C(a)Y0(Kb) (9a) A^H^İKb) = B(a)J!(Kb) + C(a)Y1(Kb) - -- (96) K(a) bağıntıları elde edilir. (2c) nin Fourier dönüşümü alınırsa ikr]1G~(a1,a) + Ğ~(aı,a) = 0 (10) elde edilir. Burada, G~ deki (.) ilk argümana göre alman türevi gösterir. Bu denklemi (8) de kullanırsak B{a)M{a) + C{a)N(a) = W+(a) (İla) bulunur. Burada W+(a) = ikrnG+(aı,a) + Ğ+(aua), (116) M(a) = ikrn JQ(Ka{) - KJı(Kax\ (11c) N(a) = ikruYoiKax) - KYx(Kaı) (lld) şeklinde tanımlanmıştır. Öte yandan (9a,b) arasında A(a) nm yok edilme siyle C(a) - İB(a) = -^H{Q1}(Kb)eİQC (12) 2 xı elde edilir. (İla) ve (12) den B(a) ve C(a) spektral katsayıları B{a)L{a) = W+(a) + ^-Nİ^H^İKb)^010, (13a) C(a)L(a) = iW+{a) - ^-M{a)H^\Kb)eiac (136) olarak bulunur. Burada L{a) = ikrnH^İKaı)- KH[l)(Ka{) (13c) konmuştur. p < aı, z > 0 bölgesinde uz(p,z) fonksiyonunun sağladığı Helmholtz denkleminin Fourier dönüşümü alınırsa ?£('£) +**w H+(p,a) = f(p) + ag(p) (14a) yazılır. Burada oo H+(p,a) = Ju3(p,z)eiazdz, (146) o fİP) = fcUs(P,0) » 9İP) = -*«s(p, 0) (14c, d) olarak tanımlanmıştır. (14a) mn Green fonksiyonu tekniği ile çözümü H+(p,a) = j^{D(a)J0(Kp) + J[f(t) + ag(t)]Q(t,p,a)tdt} (15a) o ntni,*fMKp)[M(a)Y0(Kt)-N(a)J0(Kt)], 0<p<" ~j="" a2="" ro="l" "="" k="" 0,="" ax="" (27)="" elde="" ederiz.="" nm="" her="" iki="" tarafını="" (&="" jf-)="" çarpıp="" 3="0" dan="" ye="" integre="" edersek="" 2İ="" a="" o="" c*="/" s'm="" 5="" t="" 1,2,..="" bulunur.="" u^,="" q,m="" $to^,="" sırasıyla="" v*="1" (??2&g2="" 6?)2="" (28a)="" (286)="" Ûm="ir]2ka2J^ma2jax)" +="" (nfma2="" a1)j1(jma2="" a1)="" (28c)="" 2="" t2="" ?dmi^dmo-z="" ai)="" -&,="" (28d)="" olarak="" benzer="" şekilde="" nin="" pjo^e-^-)="" e="" ^?3ff?="-2»." a2\="" îîf="" ^="" (fin="" km)jo(Çn)="" ?d="" tn="" ı="" £="" ut-="" 1="" -(mkaı="" je)2="" (2h)="" süreklilik="" koşulunun="" fourier="" dönüşümü="" alalım:="" c-n,="" *-="" 1,="" z,...="" (29a)="" (296)="" h+(aua)="G+(aua)." (30)="" xiv (8),="" (13a,b),="" (15a)="" ifadeleri="" da="" konur="" terim="" integral="" alınırsa="" ikinci="" tip="" modifiye="" wiener-hopf="" denklemi="" edilir:="" -yg="" (a1,a)+tj-5-="---7f-re" +y="" (<="" _="" [="" m+a*m]="" (31a)="" ^(a)="7TtM(a)X(a)" (316)="" dir.="" 3.="" denkleminin="" yaklaşık="" Çözümü="" de="" görülen="" denklemini="" çözmek="" için="" önce="" bu="" ifade="" deki="" v(a)="" çekirdek="" fonksiyonunu="" anlamında,="" yani,="" v{a)="V+(a)V~(a)" (32)="" şeklinde="" ayrıştırmak="" gerekir.="" buradaki="" v+(a)="" v~(a),="" sırasıyla,="" 'îsm(a)="" style="margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px;"> 3tn(- k) ve 3m(a) < Sto(&) yarı-düzlemlerinde regüler ve sıfırları olmayan fonksiyonlardır. Açık ifadeleri Ek-A da verilmiştir. (31a) nın iki tarafı V~(a) ile çarpıldıktan sonra Wiener-Hopf anlamında dekom- poze edilirse, Liouville teoremi uyarınca W+(a) " x, «ı ^ Mim) V+(am) rf -- - - = 1(a) + - > - : - ? -[fm - amgr 1+{q) 2 ^ 2am (a + ttm) (33a) olduğu görülür. Burada 1{a) = _1 !/r,^il* (336) w 2tr 2 y w £(r) (r - a) v ; £+ ile verilir. (33b) deki integral semer noktası tekniği ile değerlendirildiğinde 1(a) = Irea(

An asymptotic high-frequency solution is presented for the problem of diffraction of acoustic waves emanating from a ring source by a semi- infinite cylindrical pipe of certain wall thickness having different internal, external and end surface impedances. By using the Fourier transform technique in conjunction with the Mode matching method, the diffraction problem is reduced into a modified Wiener-Hopf equation of the second kind and then solved approximately. Various numerical results illustrating the effects of the parameters of the problem on the diffraction phenomenon are presented.