Conformal mapping of nets in n-dimensional weyl hypersurfaces

Abstract

Burulmasız bir konneksiyona sahip n-boyutlu bir Wn manifoldunda, gij metrik tensörü ile V& konneksiyonu arasında Vfcfifij - 2gijTk = 0 uygunluk koşulu varsa, Wn manifolduna bir Weyl uzayı denir ve Wn(gij,Tk) şeklinde gösterilir. Burada Tk bir kovaryant vektör alanı olup Weyl uzayının komplemanter vektörü veya normalizatörii adını alır. A bir skaler fonksiyon olmak üzere Wn(gij,Tk) uzayında metrik tensörün 9ij = A gij şeklindeki bir dönüşümü altında, Tk kovaryant vektör alanı Tfe = Tfc+dfclnA şeklinde değişmektedir. gij tensörünün ğij = \2gij şeklindeki bir normlaması altında bir A bü yüklüğü A = XpA şeklinde değişiyorsa, A ya gij tensörünün {p} ağırlıklı bir uydusu denir. A, gij nin {p} ağırlıklı bir uydusu olmak üzere, dkA = dkA - pTkA şeklinde tanımlanan dkA ifadesine A'nın genelleştirilmiş türevi denir. VkA = VkA-pTkA şeklinde tanımlanan VkA büyüklüğüne, A'nın genelleştirilmiş kovaryant tü revi denir. Burada VkA alışılmış kovaryant türevdir. Genelleştirilmiş türev ve genelleştirilmiş kovaryant türev bir uydunun ağırlığım korur. Birinci bölümde, Weyl uzayı hakkında genel bilgiler verildikten sonra Chebyshev eğriliklerinin, geodezik eğriliklerinin tanımı verilmiştir. Bu eğriliklerin yardımı ile bir şebekenin birinci Chebyshev, ikinci Cheby shev ve geodezik vektörleri tanımlanmıştır. n E a bi = 0 şartım sağh- 3=1 yorsa böyle bir şebekeye b-şebekesi denir. Burada b{ = pv{ dir.Başka bir deyişle bir şebeke ancak ve ancak 2_. P = 0 şartım sağlıyorsa b-şebekesidir. S* Şebekenin geodezik vektörleri y" cl = 0 şartım sağlıyorsa bu şebekeye *- ' s 3=1 T c-şebekesi denir. Burada c% = £uz dir. Buradan şu sonuç çıkar: bir şebeke s s r " k ancak ve ancak 2_, C = 0 koşulunu sağlıyorsa c-şebekesidir. «=ı s ikinci bölümde, iki Weyl uzayının birbiri üzerine konform tasvirinde bu uzaylar üzerindeki şebekelerin konform dönüşümleri üzerinde duruldu. *. Pk = Tk - Tk şeklinde tanımlanan vektöre konform tasvir vektörü, Th = T%jk - F)k tensörüne de afin deformasyon tensörü diyoruz. Pfc'nm tanımından yararlanarak T%-k için Tl. = PkSİ + PsSİ -Pmgimgks. ifadesi elde edilmiştir. Konform tasvir altında, Chebyshev şebekelerinin, Chebyshev eğrihklerinin, geodezik şebekenin ve geodezik eğriliklerin nasıl değiştiğine dair bilinen eşitliklere yer verildi. Koordinatları xa{oc = 1, 2,..., n + 1) olan Wn+ı(<7a/j, Ty) Weyl uzayının, koordinatları u\i = 1,2,..-,«) olan W"(gij,Tk) hiperyüzeyini gözönüne alalım. Wn ve Wn+ı in metrikleri arasında gij=gapx?Xj (t,j = l,2,---,n; a,/? = 1,2,-..,n + 1) bağıntıları mevcuttur. Burada xf, xa mn ux ye göre kovaryant türevini göstermektedir. vi Wn+i e ait ve g^r^rf - 1 olacak şekilde normlanmış olan, normal vektörün kontravaryant bileşenleri r)a olsun. Wn de tanımlı {xf, T)a} hareketli çatısı ile, {x%a:r)a} karşıt hareketli çatısı arasında 77«*? = 0 77«xL = 0 zfxİ=S} bağıntıları vardır. Tfc ve T7, sırası ile, Wn ve Wn+\ in komplemanter vektörleri olmak üzere aralarında Tk = *JT7 bağıntısı vardır. Ayrıca, Wn deki v (r = 1,2,..., n) vektör alanlarının sırası ile Wn+\ ve Wn e göre kontravaryant bileşenleri va ve vl olduğuna göre, bunlar arasında V = Xı V r * r bağıntısı vardır. Wn+ı Weyl uzayımn Wn gibi bir hiperyüzeyini gözönüne aldığımız zaman birinci cins Chebyshev vektörlerinin Wra+ı ve Wn e göre bileşenleri arasında -a /",. ",i ".fc \ "ar, "a _» a = ( Wik v V )î] + X; a rp r p rp şeklinde bir bağıntı vardır. (v,v,...,u) şebekesi Wn+ı e göre birinci cins Cheby- shev şebekesi ise, Wre e görede birinci cins Chebyshev şebekesidir. ikinci cins Chebyshev vektörlerinin Wn+ı ve Wn e göre bileşenleri arasın da x ©,. T ba = -fifc rja Vi v + xza bi (i, j, r = 1, 2,..., n; a = 1, 2,..., n + 1) © şeklinde bir bağıntı vardır. Buradan şu sonuç çıkar: (v,v,...,u) şebekesi Wn+ı 1 2 n e göre ikinci cins Chebyshev ise, Wn e göre de ikinci cins Chebyshev dir. Son bağıntıdan, r üzerinden toplam alınırsa elde edilen n n n r=l i=l r=l bağıntı, (v,v,...,u) şebekesinin W^+i e göre b-şebekesi olması halinde Wn e 1 2 n n göre de b-şebekesi ve TJ ^2| = 0 olacağım gösterir. »=ı vii Gözönüne alınan şebekenin geodezik vektörlerinin Wn+ı ve Wn e göre bileşenleri arasında mevcut olan bağıntıda r üzerinden toplam alınarak Er = £(»»yV)*tt + X>f«' r=l şeklinde bir bağıntı elde edilmiştir. (v,v,...,v) şebekesi Wn+ı e göre c-şebekesi ise, Wn e göre de c-şebekesi 12 n n olup 2_j ( w%k vlv ) = 0 dır. r=l Çalışmanın üçüncü bölümünde, Chebyshev vektörlerinin çevreleyen u- zaya ve alt uzaya göre bileşenleri arasındaki ilişkiden yararlanarak, Wn+ı * Weyl uzayının Wn ve Wn gibi iki hiperyüzeyi arasındaki bir konform tasvirde: birinci ve ikinci Chebyshev vektörleri arasındaki iHşkilerin, sırasıyla, ve aa- âa= (wikna - WikT}a)vivk rp rp ' r p + (xi ~ xi)rp + xf Ps(v3vi - g3İ cosip) T p rp * /-N - -. *. * (O fc ba -ba - (ti\ rjQ -£lzkr}a) Vi u* © © şeklinde olduğu gösterilmiştir. Eğer S = (v,v,...v) şebekesi, Wn+ı e göre birinci cins Chebyshev şebekesi 12 n * ise bunun konform dönüşmüşü olan 6 = (v.v,..., v) şebekesinin de birinci vl 2 n cins Chebyshev şebekesi olması için gerek şart P.(ff-g«co*

It is well known that an n-dimensional manifold Wn is said to be a Weyl space if it has a conformal metric tensor gij and a symmetric connection V* satisfying the compatibility condition given by the equation V&srfj - 2Tkgij = 0 where Tk denotes a covariant vector field. This work contains three chapter. In the first chapter, basic concepts of Weyl Geometry and the definitions of curvatures of Chebyshev and geodesic nets are given. In the second chapter, a conformal mapping is considered between two Weyl spaces and then the effects of this mapping on the Chebyshev nets and the geodesic nets in these spaces are investigated. In the third chapter, we first define a conformal mapping between two Weyl hypersurfaces and prove two theorems and three corollaries related to these theorems concerning the conformal transformations of Chebyshev nets contained in these hypersurfaces.