Application of the galerkin method to plane elasticity problems

Abstract

Galerkin yöntemi düzlemsel elastisite problemlerine uygulandı. Problem olarak değişken katılıklı kompozit katmanlar seçildi. Katman içindeki katılığı değiştirmek, fiberin hacim oranım veya yörüngesini değiştirerek sağlanabilir. Fiber hacim oram değişken kompozit katman ve fiber açısı değişken katmanlı plakların düzlemsel gerilme problemlerinden analitik çözümü olmayan değişken katsayılı kısmi diferansiyel denklemler ortaya çıkar. Bu denklemler değişik sayısal yöntemler ile çözülebilir. Fiber hacim oram değişken olan katman için belirli sınır şartlarında Ritz metodu kullanılarak yapılmış çözümler literatürde mevcuttur. Bu çalışmada aynı problem Galerkin metodu kullanılarak çözüldü ve metodun mevcut çözümlere yakın sonuçlar verdiği görüldü. Galerkin yöntemi uygulanırken deneme fonksiyonları olarak polinomlar seçildi. Değişken fiber açılı plak için kollokasyon tekniği kullanılarak çözülmüş bir problem ele alındı. Galerkin metodu az sayıda terim alınarak bu probleme uygulandı. Kollokasyon yönteminden elde edilen yer değişimi ve gerilme değerlerine yalan sonuçlar bulundu. Son olarak çözümü bilinen durumlar için Galerkin metodundan hesaplanan değerlerin hata normları bulundu.

The Galerkin method is applied to plane elasticity problems. Plane stress problem of composite sheet with variable fiber content and the plane elasticity problem of laminated plate with spatially varying fiber orientations result into coupled partial differential equations with variable coefficients which do not have closed-form solutions. The solutions of these equations are obtained using the polynomials as trial functions in the Galerkin method, in which the number of simultaneous algebraic equations to be solved is equal to the number of trial functions. The results are compared to that of Ritz and collocation technique published elsewhere. The method is found to determine closely both the displacements and the stresses with a few numbers of terms (i.e., eight terms) and in good agreement with other approximating methods. Computations on some examples show that the method is simple and efficient for solving these types of problems in engineering applications.